In quali situazioni sono funzioni lineari e quadratiche?

A sinistra una funzione lineare, il cui grafico è una linea retta, e a destra, una funzione quadratica, il cui grafico è una parabola. Fonte: f. Zapata

Quali sono le funzioni lineari e quadratiche?

Le funzioni lineari e le funzioni quadratiche sono funzioni che appartengono al gruppo delle funzioni polinomiche. Sono usati per modellare varie situazioni, come la dipendenza tra il volume e il peso di un corpo, la quantità e il costo di un prodotto, la posizione contro il tempo e altro ancora.

In generale, una funzione è una relazione che collega due variabili e può essere utilizzata per modellare il mondo reale. Le funzioni polinomiche, come suggeriscono il nome, sono espresse attraverso un polinomio, la cui forma generale è:

f (x) = a_NX^N + A _N-1X ^N-1 + A_X-2X^N-2 +… A_O

Dove n è un numero naturale, i numeri a₀, A₁, A₂,… A_N Sono reali, a₀ È il termine indipendente e_N, È il coefficiente che accompagna il massimo potere. Il valore di n indica il tipo di funzione, per n = 1 la funzione è lineare, mentre per n = 2 la funzione è quadratica.

Nel primo di questi casi, l'espressione generale è ridotta a:

f (x) = a₁x + a_O

E nel secondo caso, rimane così:

f (x) = a₂X² + A₁x + a_O ;   (A₂≠ 0)

I grafici delle funzioni polinomiali sono continui, cioè non sperimentano salti bruschi o rotture, quindi hanno un comportamento morbido, senza irregolarità. Pertanto, sono osservati nella modellizzazione di molte situazioni di scienza, economia e altre aree della conoscenza umana.

Successivamente, le applicazioni interessanti l'una dell'altra sono descritte in modo più dettagliato.

Situazioni in cui compaiono funzioni lineari

La funzione lineare è rappresentata algebricamente da:

f (x) = a₁x + a_O

O equivalentemente:

f (x) = mx + b

La sua caratteristica distintiva è che il suo grafico è una linea retta. Il valore M, che è il coefficiente del X, rappresenta il orecchino di questa linea e dà una misura di quanto sia inclinato.

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La pendenza può essere positiva, negativa o zero, ma è sempre costante, cioè il suo tasso di cambio rimane invariato.

Una linea di pendenza 0 è totalmente orizzontale, quella della pendenza positiva indica elevazione o aumento (se una delle variabili aumenta, anche l'altra, sempre alla stessa velocità) e, infine, la pendenza negativa indica una diminuzione (come una delle variabili aumenta, l'altro diminuisce).

Il valore di B, Da parte sua, rappresenta il taglio o l'intersezione della linea con l'asse verticale. Sì B = 0, La linea passa attraverso l'origine del sistema di coordinate.

Modellazione di esempi con funzioni lineari

1. Il movimento rettilineo uniforme

L'equazione che collega la posizione X e il tempo t di un cellulare, nel movimento rettilineo uniforme, è lineare:

x (t) = v⋅t + x_O

Dove v, la pendenza della linea, è la velocità del cellulare, che rimane costante per l'intero movimento, e x_O è la posizione iniziale.

2. Densità

Densità di un oggetto o di una sostanza, che stabilisce la relazione tra massa e volume. Chiamare ρ alla densità (legge "Rho"), m all'impasto e v al volume, hai:

Clearendo l'impasto, in termini di volume, si ottiene:

M = ρv

Quando si tratta graficamente l'impasto a seconda del volume, si ottiene una linea retta la cui pendenza è la densità dell'oggetto o della sostanza.

3. Lunghezza di una circonferenza

Il contorno di un cerchio, o la sua lunghezza, è proporzionale al suo raggio. Ciò significa che maggiore è il raggio, maggiore è il contorno della circonferenza, secondo l'equazione:

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C = 2πr

Dove c è il contorno o la lunghezza, r è la radio e π (legge "pi") è una costante il cui valore approssimativo è πamp3.14 ..

4. Costo dell'invio di un pacchetto

Poiché è facile da dedurre, quello più pesante o voluminoso è un pacchetto più costoso è trasportarlo. Le aziende dedicate al trasporto del carico modellano i loro prezzi seguendo determinate regole, ad esempio:

C (x) = 2.75x

In questa equazione, C (x) è il costo del dollaro per inviare un pacchetto il cui peso è x libbre. Il valore costante 2.75 ha unità di dollari/sterlina (costo unitario).

Situazioni in cui compaiono funzioni quadratiche

Algebicamente, una funzione quadratica è rappresentata da:

f (x) = a₂ X² + A₁ x + a_O

Con la condizione che il coefficiente di₂ Essere diverso da 0. È caratterizzato dal suo grafico a forma di parabola, il cui asse assiale o asse di simmetria è verticale (parallelo all'asse y)).

L'intersezione tra la parabola e detto asse è un punto chiamato vertice. Se la parabola si apre (a₂ > 0), il vertice è il suo punto minimo e se si apre (a₂ < 0), es el máximo.

Sull'asse della simmetria è il focus, un punto speciale che determina la curvatura della parabola. Se la luce solare è influenzata su uno specchio parabolico, i raggi si rifletteranno sulla superficie, in coincidenza a fuoco, che viene immediatamente riscaldato.

Modellazione di esempi con funzioni quadratiche

1. Altezza di un proiettile lanciato verticalmente

Un proiettile è qualsiasi oggetto a cui viene fornita una velocità iniziale e quindi rilasciata, sotto l'azione di gravità. Se la velocità iniziale è verticale, magnitudo V₀ e diretto, l'oggetto salirà a un'altezza massima e poi scenderà.

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L'equazione dell'altezza H in funzione del tempo t è:

H (t) = −4.9 t²+v₀ T

Dove il senso verticale è preso come positivo e il negativo verticale.

2. La traiettoria di un proiettile orizzontale o obliquo

Se una velocità iniziale orizzontale o obliqua viene fornita a un proiettile, descriverà una traiettoria parabolica, che può essere rappresentata attraverso una funzione quadratica come precedentemente descritto.

La palla del cestino descrive una traiettoria parabolica da gettare nel cestino. Fonte: Wikimedia Commons

Ad esempio, una palla lanciata da un'altezza e₀, Formazione dell'angolo θ₀ Per quanto riguarda l'orizzontale, ha una traiettoria data da:

Con G come accelerazione di gravità, che può approssimare 10 m/s². Ad esempio, un calcio di pallone da calcio da terra (e₀ = 0), con una velocità iniziale di 6 m/s e un angolo di 45º rispetto all'orizzontale, avrà una traiettoria data dalla seguente parabola:

3. L'area di un cerchio

Maggiore è il raggio del cerchio, maggiore sarà la sua area. In effetti, l'area del cerchio è proporzionale al quadrato del raggio R, la costante di proporzionalità è il numero π:

A = πr²

4. Efficacia di una pubblicità

Più lo vedono, più efficace è un annuncio commerciale. L'efficacia E, su una scala da 0 a 10, da un avviso può essere modellata in base alla seguente funzione quadratica:

Riferimenti 

1. Funzioni polinomiche. Recuperato dalle risorse.formazione scolastica.È.
2. Larson, r. (2012). Precalcolazione. 8 °. edizione. Apprendimento del Cengage.
3. Miller, c. (2013). Matematica: ragionamento e applicazioni. 12 °. edizione. Pearson Education.
4. Stewart, J. (2012). Precalcolazione. Matematica per il calcolo. 6 °. edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. (2008). Prececculment con i progressi di calcolo. 4 °. edizione. McGraw Hill.