Ellisse

Figura 1. Metodo del giardiniere per disegnare un'ellisse. La somma delle distanze tra un punto P dell'ellisse (in rosso) e i riflettori (in nero) rimane costante. Fonte: Ag2Gaeh, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons.

Cos'è un'ellisse?

Un'ellisse è un insieme di punti coordinati (x, y), per i quali la somma delle distanze a due punti fissi, chiamata FOCOS, è costante. A loro volta, i riflettori sono separati l'uno dall'altro una distanza pari a 2c.

Le ellissi si trovano in natura. Ad esempio, è nel movimento terrestre intorno al sole, poiché come dimostrato da tedesco Astronom.

Inoltre, la forma ellittica si trova nella progettazione di costruzioni architettoniche, fa parte di un trattamento medico per distruggere i calcoli renali e serve a modellare diversi oggetti come serbatoi e altri contenitori.

Nella figura superiore è mostrata un'ellisse con i suoi due riflettori, situati equidistanti dal centro della figura e sull'asse più lungo. La condizione che un punto P deve incontrarsi per appartenere all'ellisse è che la somma delle distanze a ciascun focus è fissata:

D₁ + D₂ = costante.

Pertanto, quando un giardiniere vuole. Quindi prendi una corda di buone dimensioni, leggi le sue estremità alla posta in gioco e sostenendo un bastone sulla corda lo fa scivolare su di essa per segnare il solco ellittico sulla terra morbida. Questo è il Metodo del giardiniere Per disegnare ellissi.

Elementi Elipse

Elementi principali di un'ellisse

Questi sono gli elementi principali dell'ellisse:

1. FOCOS, Punti fissi situati sull'asse più lungo dell'ellisse.
2. Vertici, Sono i due punti dell'ellisse attraverso i quali passa la linea che si unisce ai riflettori.
3. Asse maggiore, È la corda che si unisce ai vertici e contiene anche i riflettori.
4. Centro, Punto medio dell'asse maggiore, che corrisponde al punto di coordinata (h, k). Ogni obiettivo è equidistante dal centro e a distanza C dello stesso.
5. Asse minore, È la corda che passa attraverso il centro ed è perpendicolare all'asse maggiore.
6. Radio vettoriali, segmenti che uniscono ogni attenzione a una p dell'ellisse.
7. Asse focale, dritto su cui sono i riflettori.
8. Distanza focale, È la distanza tra i riflettori, indicata come 2c.
9. Asse secondario, Asse perpendicolare all'asse maggiore, che è allo stesso tempo Mediatrix del segmento che si lega ai riflettori.
10. Centro di simmetria, punto in coincidenza con il centro dell'ellisse, dove sono attraversati gli assi della simmetria dello stesso.
11. Assi di simmetria, linee contenenti gli assi più grandi e più piccoli dell'ellisse.

Può servirti: tassazione

Tipi di ellisse

Esistono due tipi di ellisse:

• Coloro che hanno l'asse principale orizzontale.
• Coloro che hanno il più grande asse verticale.

Quindi vengono descritti matematicamente:

Ellisse con l'asse orizzontale principale

Sia il punto C delle coordinate (h, k) Il centro dell'ellisse, la lunghezza dell'asse maggiore è 2a e la lunghezza dell'asse più piccolo pari a 2b, con a> b.

L'equazione di questa ellisse è:

Ellisse con l'asse verticale principale

Con gli stessi parametri dell'ellisse con un asse orizzontale, l'ellisse con l'asse verticale principale è scritta come:

In entrambi i casi, la distanza dalla messa a fuoco al centro C È correlato ai sedimenti maggiori e minori attraverso:

C² = a² - B²

Esempi di ellissi

Ellisse orizzontale

La seguente immagine mostra un'ellisse il cui asse principale è orizzontale. Il centro è al punto (0,0) e i riflettori in (-3,0) e (3.0) rispettivamente. Il punto P (0, -4) evidenziato appartiene all'ellisse.

figura 2.- Ellisse il cui asse maggiore è orizzontale. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

L'equazione di questa ellisse è:

16x² + 25 e² = 400

Non è difficile esprimere questa equazione nella forma canonica, è sufficiente dividere tutti i termini tra 400 e semplificare comodamente (vedere l'esercizio risolto in seguito).

Ellisse verticale

Quella che segue è un'ellisse verticale, il cui asse principale coincide con l'asse e. È focalizzato sul punto (0,0) e la sua equazione è:

36x² + 9y² = 324

Figura 3.- Un'ellisse con l'asse verticale principale. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Proprietà della riflessione

È costituito da quanto segue: se un riflettore o una sorgente sonora viene collocato in uno dei riflettori di Ellisse, le onde emettete si riflettono sull'altra messa a fuoco. È un buon modo per reindirizzare le onde in cui è necessaria la tua energia.

Può servirti: Endecagon

Ecco perché nelle sale ellittiche, quando una persona parla di essere in uno dei riflettori, un ascoltatore situato nell'altro focus ascolta chiaramente.

E in medicina questa proprietà di riflessione viene utilizzata per distruggere i calcoli renali mettendo il paziente in uno dei riflettori di una vasca ellittica piena d'acqua, mentre il generatore di onde ad ultrasuoni è posto nell'altra messa a fuoco. Le onde si riflettono nei calcoli e le frammenti in particelle più piccole, che vengono quindi espulse attraverso l'urina.

La radio ska

Questo radiotelescopio è il più grande nel suo tipo e dovrebbe iniziare a lavorare nel 2021. La sua superficie è di 1 km quadrata ed è per questo che si chiama ska (in inglese sono l'acronimo per Array quadrato chilometro).

Sfruttando la proprietà di riflessione delle ellissi, la struttura è costituita da una disposizione di 3000 antenne con una forma ellittica di circa 15 m di larghezza, distribuita tra Australia e Sudafrica. Con questo strumento, 50 volte più sensibile di quelli in uso in questo momento, si prevede che darà un'occhiata all'universo quando era ancora molto più giovane: circa un miliardo di anni a malapena.

Figura 4.- Interpretazione artistica della radio ska ska. Fonte: Wikimedia Commons.

Esercizio risolto

Trova le equazioni canoniche delle ellissi mostrate nelle figure 2 e 3 e in ciascun caso determinare le lunghezze dei sensi sempre e più piccole, nonché le distanze focali.

Soluzione

Per l'ellisse orizzontale, la cui equazione è 16x² + 25 e² = 400, tutti i termini tra 400 sono divisi, risultanti:

Può servirti: derivato cotangente: calcolo, dimostrazione, esercizi

 Che è semplificato:

Il semi -asse "a" misura 5 e il minimo "b" misura 4, che è anche avvertito osservando attentamente l'immagine. Per quanto riguarda la distanza focale, devi:

C² = a² - B²

C² = 25 - 16 = 9 ⇒ c = √9 = 3

Pertanto c = 3 è la distanza tra il centro e uno dei riflettori. Entrambi i focolai sono una distanza 2c = 6.

Per quanto riguarda l'ellisse verticale 36x² + 9y² = 324 hai:

Semplificando:

C² = 36 - 9 = 27

C = √27 ≅ 5.2

Pertanto la distanza tra i riflettori è 10.4 unità.

Riferimenti

1. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 3.
2. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
3. Formule universe. L'ellisse. Recuperato da: Universoformulas.com.
4. Wikipedia. Array quadrato chilometro. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.