Esercizi di fattorizzazione risolti

IL factoring È la procedura algebrica con cui un'espressione algebrica diventa prodotti di termini più semplici. In questo modo, molti calcoli sono semplificati.

Gli esercizi di fattorizzazione aiutano a comprendere questa tecnica, che viene utilizzata molto in matematica e consiste nel processo di scrivere una somma come prodotto di determinati termini.

Figura 1.- Attraverso il factoring un'espressione algebrica espansa viene trasformata in un prodotto di fattori con cui è comodo funzionare. Fonte: f. Zapata.

Per fare adeguatamente, devi iniziare vedendo se ci sono lettere e numeri in comune per ogni termine. Ad esempio l'espressione 5x⁴ -10x³ + 25x², che contiene tre termini, può essere un fattore notato che la "X" viene ripetuta in ognuno, sebbene con una diversa potenza. Per quanto riguarda i coefficienti numerici, tutti sono multipli di 5.

Quindi, il fattore comune è costituito da:

-Il prodotto tra il massimo divisore comune dei coefficienti e

-Il minimo potere delle lettere che appaiono.

Nell'esempio, il fattore comune è:

5x²

E l'espressione rimane così:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Il lettore può verificare attraverso l'applicazione della proprietà distributiva, che entrambe le espressioni siano equivalenti.

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Metodi di fattorizzazione: differenza quadrata

Non tutte le espressioni algebriche sono factoring come abbiamo appena fatto, quindi qui mostreremo come utilizzare diversi metodi con risolto passo dopo passo.

Pertanto, con un po 'di pratica, il lettore impara ad applicare il metodo più conveniente in casi come:

-Fattorizzazione binomiale e trinomiale.

-Fattorizzazione polinomiale.

-Calcolo delle radici polinomiali.

L'immagine della Figura 1 è molto utile quando sorge la domanda: che tipo di fattorizzazione si utilizza per un esercizio?

Inizieremo con una differenza di quadrati, per la quale viene applicata la formula 1 della tabella.

- Esercizio risolto 1

Fattore il binomiale 16x² - 49

Soluzione

In questo esempio il potere non viene ripetuto e i coefficienti numerici non sono cugini tra loro, come nell'esempio del principio. Tuttavia, se viene verificato che l'espressione data è a Differenza di quadrati, La formula 1 può essere applicata.

Tutto ciò che serve è identificare i termini A E B:

A² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
B² = 49 → B = 49 = 7

Una volta identificato, procedere a sostituire la formula:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Può servirti: riduzione di termini simili

E l'espressione rimane come il prodotto dei due fattori.

In questo e in tutti i casi seguono, il lettore può confermare che se sviluppa il risultato con la proprietà distributiva, l'espressione algebrica originale viene ottenuta.

Fattorizzazione trinomiale quadrata perfetta

Questi casi corrispondono alle formule 2 e 3 della Figura 1. Tuttavia, prima di applicarlo, deve essere verificato che l'espressione è soddisfatta che:

-Due termini sono i quadrati perfetti di A E B.

-Il termine rimanente è il doppio prodotto di A e B, cioè: 2ab.

Se quanto sopra è vero, è un trinomiale quadrato perfetto e le formule vengono applicate direttamente.

- Esercizio risolto 2

Fattore trinomiale: x² + 12x + 36

Soluzione

Questa espressione sembra appropriata applicare la Formula 2 nella scatola, ma prima dobbiamo verificare che sia un trinomio quadrato perfetto. In primo luogo si osserva che sia il primo che il terzo termine sono quadrati perfetti:

• X² È il quadrato perfetto di x, poiché (x)² = x²
• 36 è il quadrato perfetto di 6, da 6² = 36

COSÌ:

a = x
B = 6

E infine si deve verificare che il termine rimanente è 2ab, e in effetti:

12x = 2⋅x⋅6

Sottra solo il factoring secondo la formula:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Esercizio risolto 3

Scrivi l'espressione 4x² -20x + 25 in forma fattorizzata.

Soluzione

Poiché esiste un termine negativo potrebbe servire la Formula 3 nella scatola, tuttavia prima che debba essere verificato che è un trinomiale quadrato perfetto:

• 4x² È il quadrato 2x, poiché (2x)² = 4x², Quindi a = 2x
• 25 è uguale a 5², Quindi b = 5
• Il termine 20x è uguale a 2⋅2x⋅5 = 20x

La fattorizzazione rimane così:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Somma e differenza di cubi

Quando hai somme o differenze di cubi, si applicano le formule 4 o 5 a seconda del caso.

- Esercizio risolto 4

Fattore 8x³ - 27

Soluzione

Abbiamo una differenza nei cubi qui, quindi estrarre la radice cubica di ogni termine:

Quindi a = 2x e b = 3.

Viene seguito la formula 4, che è appropriata per la differenza nei cubi:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Fattorizzazione raggruppando i termini

Nella seguente immagine c'è un polinomio con quattro termini che devono essere fattorizzati. I primi tre termini hanno "x" in comune, ma l'ultimo no. Né possiamo dire che i coefficienti numerici sono multipli dello stesso fattore.

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Tuttavia, proveremo a raggruppare i termini in due parti con parentesi, indicate con la freccia gialla: i primi due termini hanno in comune la "X", mentre gli ultimi due hanno in comune che i coefficienti sono multipli di 5.

Facciamo conto di questi due gruppi (freccia blu). Ora il lettore deve osservare che durante il factoring viene fuori un nuovo fattore comune: la parentesi (3x+2).

Touch Factorize per la seconda volta (freccia rosa), poiché (3x+2) è un fattore comune di x e 5.

figura 2. Un esempio di come tener conto del raggruppamento dei termini. Fonte: f. Zapata.

Le radici di un polinomio

Sono i valori della variabile che annullano il polinomio. Se è un polinomio la cui variabile è "x", come abbiamo visto, perché si tratta di trovare i valori di x in modo tale che quando si sostituiscono, il valore numerico ottenuto è 0.

La fattorizzazione è un metodo per trovare zeri in alcuni polinomi. Diamo un'occhiata a un esempio:

- Esercizio risolto 5

Trova gli zeri di trinomiale x² -2x - 3

Soluzione

Facciamo conto del trinomio, ma questo non è un trinomio quadrato perfetto. Tuttavia possiamo eseguire una procedura da Tanteo. Abbiamo scritto il trinomiale come prodotto di due fattori, come questo:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

Nella prima parentesi, viene posizionato il primo segno trinomiale, visto da sinistra a destra. Questo è un segno (-). Nella seconda parentesi, il prodotto dei due segni che appaiono dopo il termine con x²:

(-) x (-) = +

In questo modo sarà vista la fattorizzazione:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Ora devi cercare due numeri A e B che saranno messi negli spazi vuoti. Quando moltiplicato dovrebbe essere 3:

• A x b = 3

E devono anche rispettare il fatto che, quando si è verificato, è 2, poiché i segni delle parentesi sono diversi.

(Se fossero stati segni uguali, si dovrebbero cercare due numeri A e B che, quando aggiunti, hanno dato il coefficiente del termine con "X"). COSÌ:

• A - b = 2

I numeri che soddisfano entrambe le condizioni sono 3 e 1, poiché:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Il numero più alto è posizionato tra parentesi di sinistra e la fattorizzazione rimane come segue:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Gli zeri del polinomio sono i valori di X che annullano ogni fattore:

Può servirti: anche numeri

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Il lettore può verificare che sostituire questi valori nel trinomiale originale, questo viene annullato.

Altri esercizi

- Esercizio risolto 6

Fattori il seguente polinomio: p (x) = x²-1.

Soluzione

Non è sempre necessario utilizzare il solvente. In questo esempio può essere utilizzato un prodotto straordinario.

Riscrivere il polinomio come segue.

Usando il notevole prodotto 1, Differenza dei quadrati, il polinomio P (x) può essere factoring come segue: p (x) = (x+1) (x-1).

Ciò indica anche che le radici di p (x) sono x1 = -1 e x2 = 1.

- Esercizio risolto 7

Fatto il seguente polinomio: Q (x) = x³ - 8.

Soluzione

C'è un prodotto straordinario che dice quanto segue: A³-b³ = (A-B) (A²+AB+B²).

Sapendo questo, puoi riscrivere il polinomio Q (x) come segue: Q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Ora, usando il prodotto notevole descritto, la fattorizzazione del polinomio Q (x) è Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Manca il factoring il polinomio quadratico che è sorto nel passaggio precedente. Ma se osservato, il notevole prodotto numero 2 può aiutare; Pertanto, la fattorizzazione finale di Q (x) è data da Q (x) = (x-2) (x+2) ².

Questo dice che una radice di q (x) è x1 = 2 e che x2 = x3 = 2 è l'altra radice di q (x), che viene ripetuta.

- Esercizio risolto 8

Factorize R (x) = x² - x - 6.

Soluzione

Quando non è possibile rilevare un prodotto notevole o non è disponibile l'esperienza necessaria per manipolare l'espressione, l'uso del risolante viene proceduto. I valori sono i seguenti a = 1, b = -1 e c = -6.

Quando li sostituisce nella formula è x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Da qui sono due soluzioni che sono le seguenti:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Pertanto, il polinomiale R (x) può essere factoring come r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Esercizio risolto 9

Fattore h (x) = x³ - x² - 2x.

Soluzione

In questo esercizio puoi iniziare eliminando il fattore comune x e si ottiene che H (x) = x (x²-x-2).

Pertanto, rimane solo per considerare il polinomio quadratico. Usando di nuovo il solvente, le radici devono essere:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Pertanto le radici del polinomio quadratico sono x1 = 1 e x2 = -2.

In conclusione, la fattorizzazione del polinomio H (x) è data da H (x) = x (x-1) (x+2).

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Radici di un polinomio. Cosa sono e come vengono calcolati passo dopo passo. Recuperato da: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.