Equazioni polinomiche

Quali sono le equazioni polinomiali?

IL Equazioni polinomiche Sono un'affermazione che aumenta l'uguaglianza di due espressioni o membri, in cui almeno uno dei termini che compongono ciascun lato dell'uguaglianza sono i polinomi P (x). Queste equazioni sono denominate in base al grado delle loro variabili.

In generale, un'equazione è un'affermazione che stabilisce l'uguaglianza di due espressioni, in cui in almeno una di queste ci sono importi sconosciuti, che sono chiamati variabili o incognite. Sebbene esistano molti tipi di equazioni, questi sono generalmente classificati in due tipi: algebrica e trascendente.

Le equazioni polinomiche contengono solo espressioni algebriche, che possono avere una o più incognite che intervengono nell'equazione. Secondo l'esponente (grado) che hanno, possono essere classificati come: primo grado (lineare), seconda grado (quadratico), terza elementare (cubico), quarta elementare (quantico), di grado maggiore o uguale a cinque e irrazionale.

Caratteristiche delle equazioni polinomiali

Le equazioni polinomiche sono espressioni formate da un'uguaglianza tra due polinomi; Cioè, per le somme finite di moltiplicazioni tra valori che sono sconosciuti (variabili) e numeri fissi (coefficienti), in cui le variabili possono avere esponenti e il loro valore può essere un numero intero positivo, incluso zero.

Gli esponenti determinano il grado o il tipo di equazione. Quel termine dell'espressione che ha più esponente di valore rappresenterà il grado assoluto di polinomio.

Le equazioni polinomiche sono anche conosciute come algebriche, i loro coefficienti possono essere numeri reali o complessi e le variabili sono numeri sconosciuti rappresentati da una lettera, come: "x".

Se sostituendo un valore con la variabile "x" in p (x) il risultato è uguale a zero (0), si dice che questo valore soddisfi l'equazione (è una soluzione), ed è generalmente chiamato radice polinomiale.

Quando viene sviluppata un'equazione polinomiale, tutte le radici o le soluzioni vogliono essere trovate.

Tipi di equazioni polinomiali

Esistono diversi tipi di equazioni polinomiali, che sono differenziate in base al numero di variabili e anche in base al loro grado di esponente.

Pertanto, le equazioni polinomiali -dove il suo primo termine è un polinomio che ha solo un sconosciuto, considerando che il suo grado può essere qualsiasi numero naturale (n) e il secondo termine è zero -può essere espresso come segue:

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A_{N *} X^N + A_{N-1 *} X^N-1 +… + A_{1 *} X¹ + A_{0 *} X₀ = 0

Dove:

• A_N, A_N-1 Già₀, Sono coefficienti reali (numeri).
• A_N è diverso da zero.
• L'esponente n è un numero intero positivo che rappresenta il grado di equazione.
• x è la variabile o sconosciuta che deve essere ricercata.

Il grado assoluto o maggiore di un'equazione polinomiale è quell'esponente di maggiore valore tra tutti quelli che formano polinomi; In questo modo, le equazioni sono classificate come:

Primo grado

Le equazioni polinomiali di primo grado, note anche come equazioni lineari, sono quelle a cui il grado (il più grande esponente) è uguale a 1, il polinomio è della forma P (x) = 0; Ed è composto da un termine lineare e indipendente. È scritto come segue:

ax + b = 0.

Dove:

• a e b sono numeri reali e a ≠ 0.
• L'ascia è il termine lineare.
• B è il termine indipendente.

Ad esempio, equazione 13x - 18 = 4x.

Per risolvere le equazioni lineari, tutti i termini contenenti le x sconosciuti devono essere passati al lato dell'uguaglianza e quelli che non hanno muoversi dall'altra parte, al fine di cancellarlo e ottenere una soluzione:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

In questo modo, l'equazione data ha una sola soluzione o radice, che è x = 2.

Secondo grado

Le equazioni polinomiali di secondo grado, note anche come equazioni quadratiche, sono quelle in cui il grado (il più grande esponente) è uguale a 2, il polinomio è della forma p (x) = 0 ed è composto da un termine quadratico, a lineare e indipendente. È espresso come segue:

ascia² + bx + c = 0.

Dove:

• A, B e C sono numeri reali e A ≠ 0.
• ascia² È il termine quadratico e "a" è il coefficiente del termine quadratico.
• BX è il termine lineare e "b" è il coefficiente del termine lineare.
• C è il termine indipendente.

Risolvente

Generalmente, la soluzione a questo tipo di equazioni viene data quando si cancella X dell'equazione e rimane come segue, che è chiamato risolvente:

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Lì, (b² - 4ac) è chiamato discriminare dall'equazione e questa espressione determina il numero di soluzioni che l'equazione può avere:

• Si b² - 4ac) = 0, l'equazione avrà un'unica soluzione doppia; cioè, avrà due uguali soluzioni.
• Si b² - 4ac)> 0, l'equazione avrà due diverse soluzioni reali.
• Si b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Ad esempio, hai l'equazione 4x² + 10x - 6 = 0, per risolverlo prima i termini A, B e C vengono identificati, quindi vengono sostituiti nella formula:

A = 4

B = 10

C = -6.

Ci sono casi in cui le equazioni polinomiali di secondo grado non hanno i tre termini, ed è per questo che sono risolti in modo diverso:

• Nel caso in cui le equazioni quadratiche non abbiano il termine lineare (cioè b = 0), l'equazione sarà espressa come AX² + C = 0. Per risolverlo, X viene cancellato² E le radici quadrate vengono applicate in ciascun membro, ricordando che i due possibili segni che l'ignoto può avere:

ascia² + C = 0.

X² = - c ÷ a

Ad esempio, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

X² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

X₁ = 2.

X₂ = -2.

• Quando l'equazione quadratica non ha un termine indipendente (cioè c = 0), l'equazione sarà espressa come AX² + Bx = 0. Per risolverlo, il fattore comune dell'Iconosciuto X deve essere preso nel primo membro; Poiché l'equazione è abbinata a zero, è soddisfatto che almeno uno dei fattori sarà uguale a 0:

ascia² + Bx = 0.

x (ax + b) = 0.

In questo modo, devi:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Ad esempio: hai l'equazione 5x² + 30x = 0. Prima è il fattore:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Vengono generati due fattori che sono x y (5x + 30). Uno di questi sarà considerato zero e l'altro è data una soluzione:

X₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

X₂ = -6.

Il voto più alto

Le equazioni polinomiali principali sono quelle che vanno dalla terza elementare in poi, che possono essere espresse o risolte con l'equazione polinomiale generale per qualsiasi grado:

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A_{N *} X^N + A_{N-1 *} X^N-1 +… + A_{1 *} X¹ + A_{0 *} X₀ = 0

Questo è usato perché un'equazione con un grado maggiore di due è il risultato della fattorizzazione di un polinomio; Cioè, è espresso come moltiplicazione dei polinomi di grado uno o maggiore, ma senza radici reali.

La soluzione di questo tipo di equazioni è diretta, poiché la moltiplicazione di due fattori sarà uguale a zero se uno qualsiasi dei fattori è nullo (0); Pertanto, ciascuna delle equazioni polinomiali trovate deve essere risolta, abbinando ciascuno dei suoi fattori a zero.

Ad esempio, hai l'equazione di terzo grado (cubica) x³ + X² +4x + 4 = 0. Per risolverlo devi seguire i seguenti passaggi:

• I termini sono raggruppati:

X³ + X² +4x + 4 = 0

(X³ + X² ) + (4x + 4) = 0.

• I membri si rompono per ottenere il fattore comune dell'ignoto:

X² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(X² + 4)_*(x + 1) = 0.

• In questo modo, si ottengono due fattori, che devono essere uguali a zero:

(X² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

• Si può vedere che il fattore (x² + 4) = 0 non avrà una soluzione reale, mentre il fattore (x + 1) = 0 Sì. Pertanto, la soluzione è:

(x + 1) = 0

x = -1.

Esercizi risolti

Risolvi le seguenti equazioni:

Primo esercizio

(2x² + 5)_*(X - 3)_*(1 + x) = 0.

Soluzione

In questo caso l'equazione è espressa come moltiplicazione dei polinomi; cioè, è fattorizzato. Per risolverlo, ogni fattore deve essere uguale a zero:

2x² + 5 = 0, non ha soluzione.

x - 3 = 0

x = 3.

1 + x = 0

x = - 1.

In questo modo, l'equazione data ha due soluzioni: x = 3 e x = -1.

Secondo esercizio

X⁴ - 36 = 0.

Soluzione

È stato somministrato un polinomio, che può essere ridimensionato come una differenza nei quadrati per raggiungere una soluzione più veloce. Pertanto, l'equazione rimane:

(X² + 6)_*(X² - 6) = 0.

Per trovare la soluzione delle equazioni, entrambi i fattori sono uguali a zero:

(X² + 6) = 0, non ha soluzione.

(X² - 6) = 0

X² = 6

x = ± √6.

Pertanto, l'equazione iniziale ha due soluzioni:

x = √6.

x = - √6.