Equazioni frazionarie

Le equazioni frazionarie includono frazioni numeriche e/o algebriche e l'ignoto può essere sia nel numeratore che nel denominatore o in entrambi

Quali sono le equazioni frazionarie?

IL equazioni frazionarie sono quelli che contengono frazioni in uno o più dei loro termini. Tali frazioni possono essere numeriche o algebriche, dove l'ignoto può essere trovato nel numeratore e/o nel denominatore di qualsiasi termine.

Quindi, alcuni esempi di equazioni frazionarie con un singolo sconosciuto:

Il primo esempio è un'equazione lineare con coefficienti frazionari; Nel secondo esempio, l'ignoto è nel denominatore di ciascuno dei termini, e nell'ultimo, l'ignoto è sia il numeratore che nel denominatore.

Per risolverli, è necessario eseguire alcune trasformazioni algebriche e quindi ottenere un'equazione equivalente, in cui l'ignoto non appare nel denominatore. Una volta eseguita questa procedura, la soluzione viene trovata utilizzando le tecniche appropriate.

La soluzione è costituita dall'insieme di valori "x" che soddisfano l'uguaglianza. Può essere un valore unico, o più, ma, in ogni caso, è molto importante tenere presente che non tutte le soluzioni nell'equazione equivalente sono accettabili per l'equazione originale.

In effetti, se si tratta di un'equazione il cui sconosciuto è nel denominatore, i valori "x" che ne annullano devono essere evitati, anche se appartengono all'insieme di soluzioni di equazione equivalenti. Questo perché la divisione tra 0 non è definita.

Se l'equazione equivalente ha una soluzione unica e si scopre che il denominatore di uno qualsiasi dei termini dell'equazione originale viene annullato, allora non ha una soluzione.

Come risolvere un'equazione frazionaria

Le operazioni che vengono eseguite per risolvere le equazioni non frazionali sono valide, a condizione che l'uguaglianza sia mantenuta. In questo modo, in un'equazione frazionaria è possibile aggiungere o sottrarre la stessa quantità ad entrambi i lati di uguaglianza, moltiplicare tutti i termini per lo stesso importo o dividere ogni termine (diverso da 0).

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Ma poiché l'equazione frazionaria è necessaria per trasformarsi in un altro equivalente senza denominatori, vengono seguite anche le seguenti indicazioni generali:

1. Trova il multiplo minimo comune di denominatori (M.C.M).
2. Moltiplicare ogni termine per M.C.M., Al fine di eliminare i denominatori.
3. Risolvi l'equazione equivalente ottenuta.
4. Verificare che le soluzioni trovate soddisfino l'uguaglianza originale.

Tipi di equazioni equivalenti

Le equazioni equivalenti ottenute seguendo la procedura indicata possono essere:

• Lineare o primo grado
• Quadratico
• Di ordine superiore

Esempi risolti

Esempio 1

Risolvi la seguente equazione:

Si noti che l'equazione è di primo grado in "x", poiché "x" è alta a 1. I coefficienti dell'equazione sono frazioni e un modo per eliminarli, per lavorare con numeri interi, sta moltiplicando tutti i termini per il multiplo minimo dei denominatori (M.C.M.).

M.C.M. (2,3,6) = 6

COSÌ:

3x - 2x = 1

x = 1

Il lettore può verificare la validità di questa soluzione, sostituendo x = 1 nell'equazione originale e verificando che si ottiene un'uguaglianza.

Esempio 2

Determina i valori "x" che soddisfano:

A differenza dell'esempio precedente, in questo caso l'ignoto si trova nel denominatore. Si noti che i denominatori sono annullati per i valori x = 2 e x = −1, un dettaglio che è conveniente da prendere in considerazione, poiché, se l'equazione equivalente ammette queste soluzioni, dobbiamo scartarli, poiché non sono ammissibili nell'equazione originale.

Ora dobbiamo trasformare l'equazione in un'altra senza denominatori, il primo passo è fare la somma dei termini a sinistra dell'uguaglianza:

Poiché i denominatori sono uguali, quindi l'uguaglianza è adempiuta, è necessario che anche i numeratori siano:

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4 (x+1) - 3 (x -2) = 8

È sufficiente risolvere questa equazione, che risulta essere di prima elementare:

4x + 4 - 3x + 6 = 8

x = 8 - 6 - 4 = - 2

x = - 2

Poiché questo valore è diverso dai valori proibiti, è ammesso come soluzione dell'equazione originale.

Esempio 3

Trova la soluzione di:

In questa equazione, il valore x = 4 annulla i denominatori, quindi è escluso dall'insieme della soluzione dell'equazione trasformata, se è apparso.

L'equazione trasformata è facile da trovare, è sufficiente moltiplicare tutti i termini per il fattore (X-4):

Restare:

2x - 4 = 4

2x = 8

x = 4

Esempio 4

Risolvi l'equazione:

In questo caso, i denominatori hanno termini quadratici, quindi è conveniente per tenerli prima:

• X² + 8x + 7 = (x + 7) (x + 1)
• X² - 49 = (x + 7) (x - 7)
• X² - 6x - 7 = (x - 7) (x + 1)

L'equazione è così:

I valori di x che annullano uno qualsiasi dei denominatori sono: x = −7, x = 7, x = −1. Pertanto, anche se questi valori fanno parte dell'insieme della soluzione dell'equazione modificata, non possono essere una soluzione dell'equazione originale.

Ora arriva il processo di trasformazione dell'equazione. Il primo passo è trovare il multiplo minimo comune di denominatori:

M.C.M. = (x + 7) (x - 7) (x + 1)

Moltiplicando su entrambi i lati dell'uguaglianza di m.C.M. è rimasto:

Risultante:

(x --7) (x− 2) = (x + 1) (2x - 5) - (x + 7) (x - 2)

Attraverso la proprietà distributiva i prodotti sono sviluppati:

X² - 9x +14 = 2x² - 3x - 5 - (x² + 5x - 14)

Ridurre termini simili sul lato destro:

X² - 9x + 14 = x² - 8x + 9

I termini quadratici vengono annullati, incontrando lo stesso segno su diversi lati dell'uguaglianza:

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- 9x + 14 = - 8x + 9

-x = -5 ⇒ x = 5

Questo risultato è ammesso come soluzione, poiché non è nessuno dei valori proibiti.

Esercizio di applicazione di equazioni frazionarie

Il denominatore di una frazione supera quattro unità al numeratore. Se il numeratore viene sottratto anche dal numeratore e dal denominatore, la frazione risultante è 3/5. Determina la frazione originale.

Soluzione

Sia X il valore del numeratore.

Poiché la frazione denominatore supera quattro unità al numeratore, la frazione originale è:

Ora devi sottrarre 5 unità, sia per il numeratore che per il denominatore:

Poiché la frazione derivante dall'esecuzione della procedura precedente è uguale a 3/5, sono equalizzate:

Esempio di equazione frazionaria. Fonte: f. Zapata.

Questa è un'equazione frazionaria con l'ignoto in numeratore e denominatore, che viene annullato a x = 1. Pertanto, questo valore deve essere escluso, se fosse tra le soluzioni dell'equazione trasformata.

Quindi, moltiplica entrambi i lati per il multiplo comune minimo, che è 5 (x - 1):

Risultante nella seguente equazione equivalente:

5 (x - 5) = 3 (x - 1)

Applicazione di proprietà distributiva:

5x -25 = 3x - 3 ⇒ 2x = 22

x = 11

La frazione originale sta sostituendo x = 11 nell'espressione:

Con conseguente frazione 11/15. Questa è la risposta al problema sollevato.

Riferimenti

1. Equazioni frazionarie. Recuperato da: Mathepower.com
2. Portale matematico. Equazioni frazionarie. Risoluzione del problema. Recuperato da: Silvioduarte.com.
3. Stewart, J. (2007). Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Sullivan, m. (1997). Precalcolazione. 4 °. Edizione. Pearson Education.
5. Zill, d. (2008). Prececculment con i progressi di calcolo. 4 °. Edizione. McGraw Hill.