Distribuzione normale della formula, caratteristiche, esempio, esercizio fisico

IL distribuzione normale o La distribuzione gaussiana è la distribuzione di probabilità nella variabile continua, in cui la funzione di densità di probabilità è descritta da una funzione esponenziale dell'argomento quadratico e negativo, che si traduce in una forma scheggiata.

Il nome di distribuzione normale deriva dal fatto che questa distribuzione è quella che viene applicata al maggior numero di situazioni in cui una variabile casuale continua è coinvolta in un determinato gruppo o popolazione.

Figura 1. Distribuzione normale n (x; μ, σ) e la sua densità di probabilità f (s; μ, σ). (Elaborazione proprie)

Come esempi in cui viene applicata la normale distribuzione: l'altezza di uomini o donne, variazioni nella misura di una grandezza fisica o in caratteristiche psicologiche o sociologiche misurabili come il quoziente intellettuale o le abitudini di consumo di un determinato prodotto.

D'altra parte, si chiama Gaussian Distribution o Gauss Bell, perché è questo genio matematico tedesco a cui è attribuita la sua scoperta per l'uso che ha dato per la descrizione dell'errore statistico delle misurazioni astronomiche nel 1800.

Tuttavia, si afferma che questa distribuzione statistica era precedentemente pubblicata da un altro grande matematico di origine francese, così come Abraham de Moivre, nel 1733.

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Formula

Alla normale funzione di distribuzione nella variabile continua X, Con parametri μ E σ È indicato da:

N (x; μ, σ)

E esplicitamente è scritto in questo modo:

N (x; μ, σ) = ∫_-∞^X f (s; μ, σ) ds

Dove f (u; μ, σ) È la funzione di densità di probabilità:

f (s; μ, σ) = (1/(σ√ (2π)) exp ( - s²/(2σ²)

La costante che moltiplica la funzione esponenziale nella funzione di densità di probabilità è chiamata costante di normalizzazione ed è stata scelta in modo tale che:

N (+∞, μ, σ) = 1

L'espressione precedente garantisce che la probabilità che la variabile casuale X essere tra -∞ e +∞ o 1, questa è una probabilità al 100%.

Il parametro μ È la media aritmetica della variabile casuale continua x e σ La deviazione standard o la radice quadrata della varianza di quella stessa variabile. Nel caso che μ = 0 E σ = 1 Hai la distribuzione normale di distribuzione standard o normale tipica: 

N (x; μ = 0, σ = 1)

Caratteristiche di distribuzione normali

1- Se una variabile statistica casuale segue una normale distribuzione della densità di probabilità f (s; μ, σ), La maggior parte dei dati sono raggruppati intorno al valore medio μ E sono dispersi intorno a loro in modo che appena oltre i dati siano tra μ - σ E μ + σ. 

Può servirti: frequenza assoluta: formula, calcolo, distribuzione, esempio

2- La deviazione standard σ È sempre positivo.

3- La forma della funzione di densità F Assomiglia a quella di una campana, quindi questa funzione è spesso chiamata campana gaussiana o funzione gaussiana. 

4- In una distribuzione gaussiana la media, la mediana e la moda coincidono.

5- I punti di flesso della funzione di densità di probabilità si trovano proprio in μ - σ E μ + σ.

6- La funzione F è simmetrica rispetto a un asse che passa per il suo valore medio μ E hai zero asintoticamente per x ⟶ +∞ e x ⟶ -∞.

7- Un valore più elevato di σ maggiore dispersione, rumore o dati di distanziamento attorno al valore medio. Cioè dire a maggiore σ La forma della campana è più aperta. Invece σ Piccolo indica che i dadi nuotavano verso la media e la forma della campana è più chiusa o appuntita.

8- La funzione di distribuzione N (x; μ, σ) indica la probabilità che la variabile casuale sia inferiore o uguale a X. Ad esempio, nella Figura 1 (sopra) la probabilità p che la variabile X è inferiore o uguale a 1.5 è dell'84% e corrisponde all'area sotto la funzione di densità di probabilità f (x; μ, σ) Da -∞ a X.

Intervalli di fiducia

9- Se i dati seguono una distribuzione normale, il 68,26% di questi è tra μ - σ E μ + σ.

10- 95,44% dei dati che seguono una distribuzione normale sono tra μ - 2σ E μ + 2σ.

11- 99,74% dei dati che seguono una distribuzione normale sono tra μ - 3σ E μ + 3σ.

12- Se una variabile casuale X Segui una distribuzione N (x; μ, σ), Quindi la variabile

Z = (x - μ) / σ  Seguire la distribuzione normale standard  N (z; 0,1).

Il cambiamento della variabile X al z Si chiama standardizzazione o tipizzazione ed è molto utile al momento dell'applicazione delle tabelle di distribuzione standard ai dati che seguono una normale distribuzione non standard.

Applicazioni di distribuzione normali

Per applicare la distribuzione normale è necessario passare attraverso il calcolo dell'integrale della densità di probabilità, che dal punto di vista analitico non è facile e non è sempre disponibile un programma per computer che consente il suo calcolo numerico. A tal fine, vengono utilizzate le tabelle di valori standard o tipizzati, che non è altro che la distribuzione normale nel caso μ = 0 e σ = 1.

Può servirti: operazioni combinateTabella di distribuzione normale caratterizzata (parte 1/2) Tabella di distribuzione normale caratterizzata (parte 2/2)

Va notato che queste tabelle non includono valori negativi. Tuttavia, utilizzando le proprietà di simmetria della funzione di densità di probabilità gaussiana, è possibile ottenere i valori corrispondenti. Nell'esercizio risolto mostrato sotto l'uso della tabella è indicato in questi casi.

Esempio

Supponiamo di avere un set di dati casuali x che segue una distribuzione media normale di 10 e deviazione standard 2. È richiesto di trovare la probabilità che:

a) La variabile casuale X è inferiore o uguale a 8.

b) è inferiore o uguale a 10.

c) quella variabile x è inferiore a 12.

d) la probabilità che un valore X sia compreso tra 8 e 12.

Soluzione:

a) Per rispondere alla prima domanda devi solo calcolare:

N (x; μ, σ)

Con x = 8, μ = 10 E σ = 2. Ci rendiamo conto che è un integrale che non ha una soluzione analitica nelle funzioni elementari, ma la soluzione è espressa in base alla funzione di errore ERF (x).

D'altra parte, esiste la possibilità di risolvere l'integrale in modo numerico, che è ciò che molti calcolatori, fogli di calcolo e programmi per computer come la geogebra do. La figura seguente mostra la soluzione numerica corrispondente al primo caso:

figura 2. Densità di probabilità f (x; μ, σ). L'area ombreggiata rappresenta p (x ≤ 8). (Elaborazione proprie)

E la risposta è che la probabilità che x sia inferiore a 8 è:

P (x ≤ 8) = n (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) In questo caso si tratta di trovare la probabilità che la variabile casuale x sia al di sotto della media che in questo caso vale 10. La risposta non richiede alcun calcolo, poiché sappiamo che la metà dei dati è inferiore alla media e l'altra metà al di sopra della media. Pertanto, la risposta è:

P (x ≤ 10) = n (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) per rispondere a questa domanda devi calcolare N (x = 12; μ = 10, σ = 2), che può essere fatto con un calcolatore che ha funzioni statistiche o da software come la geogebra:

Può servirti: divisori di 8: cosa sono e facili spiegazioniFigura 3. Densità di probabilità f (x; μ, σ). L'area ombreggiata rappresenta p (x ≤ 12). (Elaborazione proprie)

La risposta alla parte C può essere vista nella Figura 3 ed è:

P (x ≤ 12) = n (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Per trovare la probabilità che la variabile casuale X sia compresa tra 8 e 12, possiamo usare i risultati delle parti A e C come segue:

P (8 ≤ x ≤ 12) = p (x ≤ 12) - p (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26.

Esercizio risolto

Il prezzo medio delle azioni di una società è di $ 25 con una deviazione standard di $ 4. Determinare la probabilità che:

a) Un'azione ha un costo inferiore a $ 20.

b) che ha un costo superiore a $ 30.

c) Il prezzo è compreso tra $ 20 e $ 30.

Utilizzare le normali tabelle di distribuzione caratterizzate per trovare le risposte.

Soluzione:

Per utilizzare le tabelle, è necessario passare alla variabile normalizzata o caratterizzata:

$ 20 nella variabile standardizzata è uguale Z = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1,25 e 

$ 30 nella variabile standardizzata è uguale z = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1,25.

a) $ 20 equivale a -1,25 nella variabile standardizzata, ma la tabella non ha valori negativi, quindi posizioniamo il valore +1,25 che mostra il valore di 0,8944.

Se questo valore viene sottratto 0,5 il risultato sarà l'area tra 0 e 1,25 che, tra l'altro, è identico (per simmetria) all'area tra -1.25 e 0. Il risultato della sottrazione è 0,8944 - 0,5 = 0,3944 che è l'area tra -1.25 e 0.

Ma l'area interessa da -∞ a -1,25 che saranno 0,5 -0,3944 = 0,1056. Si è quindi concluso che la probabilità che un'azione sia inferiore a $ 20 è del 10,56%.

b) $ 30 nella variabile tipizzata Z è 1,25. Per questo valore nella tabella appare il numero 0,8944 che corrisponde all'area da -∞ a +1,25. L'area tra +1.25 y +∞ IS (1 - 0,8944) = 0,1056. In altre parole, la probabilità che un'azione costi superiore a $ 30 è del 10,56%.

c) La probabilità che un'azione abbia un costo tra $ 20 e $ 30 sarà calcolata come segue:

100% -10,56% - 10,56% = 78,88%

Riferimenti

1. Statistica e probabilità. Distribuzione normale. Estratto da: ProjectOdeScartes.org
2. Geogebra. Geogebra classica, calcolo della probabilità. Recuperato da Geogebra.org
3. Matematica. Distribuzione di Gauss. Recuperato da: è.Matematica.com
4. Mendenhall, w. 1981. Statistiche per l'amministrazione ed economia. 3 °. edizione. Gruppo editoriale IberoAmerica.
5. Stat Trek. Insegnati statistiche. Distribuzione di Poisson. Recuperato da: stattrek.com,
6. TRIOLA, m. 2012. Statistiche elementari. 11 °. Ed. Pearson Education.
7. Università di Vigo. Principali distribuzioni continue. Recuperato da: Anapg.siti Web.Uvigo.È
8. Wikipedia. Distribuzione normale. Recuperato da: è.Wikipedia.org