Concetto di distribuzione binomiale, equazione, caratteristiche, esempi

IL distribuzione binomiale È una distribuzione di probabilità mediante la quale viene calcolata la probabilità di occorrenza dell'evento, a condizione che si verifichino in due modalità: successo o fallimento.

Queste denominazioni (successo o fallimento) sono completamente arbitrarie, poiché non significano necessariamente cose buone o cattive. Durante questo articolo indicheremo la forma matematica della distribuzione binomiale e quindi il significato di ciascun termine sarà spiegato in dettaglio.

Figura 1. Il lancio di un dado è un fenomeno che può essere modellato dalla distribuzione binomiale. Fonte: Pixabay.

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Equazione

 L'equazione è la seguente:

Con x = 0, 1, 2, 3 .. .n, dove:

- P (x) è la probabilità di avere esattamente X successi tra N tentativi o prove.

- X È la variabile che descrive il fenomeno di interesse, corrispondente al numero di successi.

- N Il numero di tentativi

- P È la probabilità di successo in 1 tentativo

- Q È la probabilità di fallimento in 1 tentativo, quindi Q = 1 - P

Il simbolo di ammirazione "!"È usato per la notazione fattoriale, in modo che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

E così via.

Concetto

La distribuzione binomiale è molto appropriata per descrivere le situazioni in cui si verifica o non si verifica un evento. Se si verifica è un successo e in caso contrario, allora è un fallimento. Inoltre, la probabilità di successo deve essere sempre costante.

Ci sono fenomeni che si adattano a queste condizioni, ad esempio il lancio di una valuta. In questo caso, possiamo dire che il "successo" è quello di ottenere una faccia. La probabilità è ½ e non cambia, non importa quante volte la valuta viene lanciata.

Il lancio di un dado onesto è un altro buon esempio, oltre a classificare in buoni pezzi e pezzi difettosi una certa produzione e ottenere un rosso anziché un nero.

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Caratteristiche

Possiamo riassumere le caratteristiche della distribuzione binomiale come segue:

- Qualsiasi evento o osservazione, viene estratto da una popolazione infinita senza sostituzione o una popolazione finita con sostituzione.

- Vengono prese in considerazione solo due opzioni, a vicenda: successo o fallimento, come spiegato all'inizio.

- La probabilità di successo deve essere costante in qualsiasi osservazione fatta.

- Il risultato di qualsiasi evento è indipendente da qualsiasi altro evento.

- La media della distribuzione binomiale è N.P

- La deviazione standard è:

Gli esempi precedenti soddisfano queste condizioni, sebbene ci siano alcune restrizioni da applicare.

Esempio di applicazione

Prendiamo un semplice evento, che può essere quello di ottenere 2 facce 5 lanciando un dadi onesti 3 volte. Quali sono le probabilità che in 3 lancia 2 facce di 5?

Esistono diversi modi per raggiungerlo, ad esempio che:

- Le prime due versioni sono 5 e l'ultima no.

- Il primo e l'ultimo sono 5 ma non quello del mezzo.

- Gli ultimi due lanci sono 5 e i primi no.

Prendi come esempio la prima sequenza descritta e calcola la sua probabilità di occorrenza. La probabilità di ottenere una faccia a 5 nel primo lancio è 1/6, e anche nel secondo, in quanto sono eventi indipendenti.

La probabilità di ottenere un'altra faccia di 5 nell'ultimo lancio è 1 - 1/6 = 5/6. Pertanto la probabilità che questa sequenza venga fuori, è il prodotto delle probabilità:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

E le altre due sequenze? Hanno una probabilità identica: 0.023.

E poiché abbiamo un totale di 3 sequenze di successo, la probabilità totale sarà:

P (2 facce 5 in 3 lanci) = numero di possibili sequenze x probabilità di una sequenza particolare = 3 x 0.023 = 0.069.

Ora proviamo il binomiale, in cui è fatto:

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x = 2 (Ottieni 2 lati di 5 in 3 lanci è il successo)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Esercizi risolti

Esistono diversi modi per risolvere gli esercizi di distribuzione binomiale. Come abbiamo visto, il più semplice può essere risolto raccontando quante successioni di successo esistono e quindi moltiplicando per le rispettive probabilità.

Tuttavia, quando ci sono molte opzioni, i numeri diventano più grandi ed è preferibile usare la formula.

E se i numeri sono ancora più alti, ci sono ragazzi della distribuzione binomiale. Tuttavia, al momento, sono diventati obsoleti a favore dei molti tipi di calcolatori che facilitano il calcolo.

Esercizio 1

Una coppia ha figli con una probabilità di 0,25 per avere sangue del tipo o. La coppia ha un totale di 5 bambini. Risposta: a) Questa situazione si adatta a una distribuzione binomiale?, b) Qual è la probabilità che esattamente 2 di loro siano del tipo o?

Soluzione

a) La distribuzione binomiale viene regolata, poiché soddisfa le condizioni stabilite nelle sezioni precedenti. Esistono due opzioni: avere sangue di tipo o "successo", pur non avendo "fallimento" e tutte le osservazioni sono indipendenti.

b) Hai la distribuzione binomiale:

In cui vengono sostituiti i seguenti valori:

x = 2 (ottieni 2 bambini con sangue di tipo O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Esempio 2

Un'università afferma che l'80% degli studenti appartenenti alla squadra di basket universitaria si laurea. Un'indagine esamina il record accademico di 20 studenti appartenenti a detta squadra di basket che si è iscritta all'università molto tempo fa.

Di questi 20 studenti, 11 hanno terminato la gara e 9 hanno lasciato gli studi.

figura 2. Quasi tutti gli studenti che giocano per il team universitario riescono a laurearsi. Fonte: Pixabay.

Se la dichiarazione dell'università è vera, il numero di studenti che giocano a basket e che riescono a laurearsi, tra i 20, dovrebbe avere una distribuzione binomiale con N = 20 E P = 0,8. Qual è la probabilità che esattamente 11 dei 20 giocatori si laureano?

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Soluzione

Nella distribuzione binomiale:

I seguenti valori devono essere sostituiti:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Esempio 3

I ricercatori hanno condotto uno studio per determinare se vi fossero differenze significative nei tassi di laurea tra gli studenti di medicina ammessi attraverso programmi speciali e studenti di medicina ammessi attraverso i regolari criteri di ammissione.

È stato scoperto che il tasso di laurea era del 94% per gli studenti ammessi attraverso programmi speciali (in base ai dati dei dati del Journal of American Medical Association).

Se 10 degli studenti dei programmi speciali sono selezionati in modo casuale, trova la probabilità che almeno 9 di loro si sono laureati.

b) sarebbe insolito selezionare casualmente 10 studenti dai programmi speciali e ottenere che solo 7 di loro si sono laureati?

Soluzione

La probabilità che uno studente abbia ammesso attraverso un programma speciale laureato è 94/100 = 0.94. Sono scelti N = 10 studenti dei programmi speciali e vuoi scoprire la probabilità che almeno 9 di loro si laureano.

I seguenti valori vengono sostituiti nella distribuzione binomiale:

X = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Questa è la probabilità che esattamente 9 si laureano, ma potrebbero anche laurearsi esattamente 10:

 P (almeno 9 laureato) = P (9) + P (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

B)
Sì, è insolito, poiché la probabilità ottenuta è piuttosto piccola.

Riferimenti

1. Berenson, m. 1985. Statistiche per l'amministrazione ed economia. Inter -American s.A.
2. Matematica. Distribuzione binomiale. Recuperato da: è.Matematica.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statistiche per l'amministrazione ed economia. 3 °. edizione. Gruppo editoriale IberoAmerica.
4. Moore, d. 2005. Statistiche di base applicate. 2 °. Edizione.
5. TRIOLA, m. 2012. Statistiche elementari. 11 °. Ed. Pearson Education.
6. Wikipedia. Distribuzione binomiale. Recuperato da: è.Wikipedia.org