Derivato dal calcolo cotangente, dimostrazione, esercizi

IL Cotangente derivato È uguale all'opposto del quadrato del raccolto “-CSC²". Questa formula è dovuta alle leggi derivate per definizione e alla differenziazione delle funzioni trigonometriche. È indicato come segue:

D (ctg u) = -csc² O . du

Dove "du" simboleggia l'espressione derivata dalla funzione dell'argomento, rispetto alla variabile indipendente.

Fonte: Pixabay.com

[TOC]

Come viene calcolato?

La procedura per lo sviluppo di questi derivati ​​è abbastanza semplice. Basta identificare l'argomento e il tipo di funzione che rappresenta.

Ad esempio, l'espressione CTG (f/g) presenta una divisione nel suo argomento. Ciò avrà bisogno di una differenziazione per quanto riguarda U/V, dopo aver sviluppato la zip.

Cotangent è la funzione reciproca della tangente. Algebicamente questo significa che:

(1/tg x) = ctg x

Ctg x = cos x / sen x

Non è corretto affermare che la funzione cotangente è il "inverso" della tangente. Questo perché la funzione inversa della tangente per definizione è l'arco tangente.

(TG^-1 x) = arctg x

Secondo la trigonometria pitagorica, il cotangent è coinvolto nelle seguenti sezioni:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg² X + 1 = CSC² X

Secondo la trigonometria analitica risponde alle seguenti identità:

Ctg (a + b) = (1 - tg a . TG B) / (TG A + TG B)

Ctg (a - b) = (1 + tg a . TG B) / (TG A - TG B)

CTG (2A) = (1 - TG² a) / (2tg a)

Caratteristiche della funzione Cotangent

È necessario analizzare varie caratteristiche della funzione f (x) = ctg x per essere in grado di definire gli aspetti necessari per studiarsi la differenziabilità e l'applicazione.

Asintoti verticali

La funzione cotangente non è definita nei valori che rendono l'espressione "senx" zero. A causa del suo equivalente ctg x = (cos x) / (sin x), avrà un'indeterminatezza in tutto il "nπ" con n appartenente ai numeri interi.

Può servirti: geometria analitica

Cioè, in ciascuno di questi valori di x = nπ ci sarà un verticale asintoto. Man mano che il valore dei cotangenti si avvicina e quando si avvicina alla destra, la funzione aumenterà indefinitamente.

Dominio

Il dominio della funzione cotangente è espresso dal set x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z. Questo viene letto come "x che appartiene all'insieme di numeri reali in modo tale che x sia diverso da nπ, con n appartenente a tutti gli interi numeri".

Allineare

Il grado della funzione cotangente copre da meno a più infinito. Ecco perché si può concludere che il suo rango è l'insieme di n numeri reali.

Frequenza

La funzione cotangente è periodica e il suo periodo è uguale a π. In questo modo è soddisfatta l'uguaglianza ctg x = ctg (x + nπ), dove n appartiene a z.

Comportamento

È una funzione dispari, poiché CTG (-x) = - CTG X. In questo modo è noto che la funzione presenta una simmetria rispetto all'origine delle coordinate. Presenta anche una diminuzione di ogni intervallo situato tra 2 asintoti verticali successivi.

Non ha valori massimi o minimi, perché i loro approcci agli asintoti verticali hanno comportamenti in cui la funzione cresce o diminuisce indefinitamente.

Gli zeri o le radici della funzione cotangente si trovano negli dispari multipli di π/2. Ciò significa che Ctg x = 0 è soddisfatto nei valori della forma x = nπ/2 con una interezza.

Dimostrazione

Esistono 2 modi per dimostrare il derivato della funzione cotangente.

Dimostrazione differenziale trigonometrica

Il derivato della funzione cotangente è dimostrato dal suo equivalente nel seno e nei cosenos.

Può servirti: algebra booleana: storia, teoremi e postulati, esempi

Riguarda il derivato di una divisione funzioni

Dopo aver derivato i fattori sono raggruppati e si cercano le identità pitagoriche di emulare

Sostituzione delle identità e applicazione della reciprocità dell'espressione

Definizione Definizione derivata

La seguente espressione corrisponde al derivato per definizione. Dove la distanza tra 2 punti della funzione si avvicina a zero.

Sostituire il cotangente che devi:

Le identità si applicano alla somma degli argomenti e della reciprocità

La frazione del numeratore è gestita tradizionalmente

Si ottiene eliminare elementi opposti e disegnare un fattore comune

Applicazione di identità pitagoriche e reciprocità

Gli elementi valutati in X sono costanti rispetto al limite, quindi possono lasciare l'argomento di questo. Quindi vengono applicati limiti trigonometrici.

Il limite viene valutato

Quindi è il factoring fino a raggiungere il valore desiderato

Ciò è dimostrato dal derivato Cotangente come l'opposto della piazza della mietitrice.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Secondo la funzione f (x), definisci l'espressione f '(x)

La derivazione corrispondente viene applicata rispetto alla regola della catena

Derivare l'argomento

A volte è necessario applicare identità reciproche o trigonometriche per adattare le soluzioni.

Esercizio 2

Definire l'espressione differenziale corrispondente a f (x)

Secondo la formula di derivazione e rispetto della regola della catena

L'argomento deriva, mentre il resto rimane lo stesso

Derivare tutti gli elementi

Operando in modo tradizionale i prodotti della stessa base

Gli stessi elementi vengono aggiunti e il fattore comune viene estratto

I segni sono semplificati e gestiti. Lasciare il posto all'espressione completamente derivata

Può servirti: differenza tra una frazione comune e un numero decimale

Riferimenti

1. Serie trigonometriche, volume 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Calcolo di una singola variabile. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre. 2008
3. Calcolo con trigonometria e geometria analitica. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
4. Analisi multivariabile. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dicembre. 2010
5. Dinamica del sistema: modellazione, simulazione e controllo dei sistemi mechatronici. Dean c. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar. 2012
6. Calcolo: matematica e modellazione. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 gennaio. 1999