Esempi di dati raggruppati ed esercizio fisico risolto

IL dati raggruppati Sono quelli che hanno classificato in categorie o classi, assumendo come criteri la loro frequenza. Questo viene fatto allo scopo di semplificare la gestione di grandi quantità di dati e stabilire le loro tendenze.

Una volta organizzati in queste classi per le loro frequenze, i dati costituiscono a Distribuzione di frequenza, da quali informazioni sull'utilità vengono estratte attraverso le sue caratteristiche.

Figura 1. Con i dati raggruppati è possibile creare grafica e calcolare i parametri statistici che descrivono le tendenze. Fonte: Pixabay.

Successivamente vedremo un semplice esempio di dati raggruppati:

Supponiamo che la statura di 100 studentesse, selezionata tra tutti i corsi di fisica di base di un'università, sia misurata e che si ottengano i seguenti risultati:

I risultati ottenuti sono stati divisi in 5 classi, che compaiono nella colonna sinistra.

La prima classe, tra 155 e 159 cm, ha 6 studenti, la seconda classe 160-164 cm ha 14 studenti, la terza classe da 165 a 169 cm è quella con il maggior numero di membri: 47. Quindi seguire la classe di 170-174 cm con 28 studenti e infine quella da 175 a 179 cm con solo 5.

Il numero di membri di ogni classe è proprio il frequenza O Frecuenza assoluta E aggiungendoli tutti, si ottengono i dati totali, che in questo esempio è 100.

[TOC]

Caratteristiche di distribuzione della frequenza

Frequenza

Come abbiamo visto, la frequenza è il numero di volte in cui viene ripetuto. E per facilitare i calcoli delle proprietà di distribuzione, come la media e la varianza, sono definite le seguenti quantità:

-Frequenza accumulata: Si ottiene aggiungendo la frequenza di una classe con la frequenza accumulata anteriore. La prima di tutte le frequenze coincide con quella dell'intervallo in questione e l'ultimo è il numero totale di dati.

-Frequenza relativa: Viene calcolato dividendo la frequenza assoluta di ciascuna classe per il numero totale di dati. E se moltiplicando per 100 hai la percentuale percentuale.

Può servirti: funzioni vettoriali

-Frequenza relativa accumulata: È la somma delle frequenze relative di ciascuna classe con l'accumulazione precedente. L'ultima delle frequenze relative accumulate deve essere uguale a 1.

Per il nostro esempio, le frequenze sono così:

Confini

I valori estremi di ogni classe o intervallo sono chiamati Limiti di classe. Come possiamo vedere, ogni classe ha un limite inferiore e uno maggiore. Ad esempio, la prima classe dello studio sulle stature ha un limite inferiore a 155 cm e uno maggiore di 159 cm.

Questo esempio ha limiti che sono chiaramente definiti, tuttavia è possibile.

frontiere

L'altezza è una variabile continua, quindi si può prendere in considerazione che la prima classe inizi in 154.5 cm, poiché arrotondando questo valore all'intero più vicino, si ottengono 155 cm.

Questa classe copre tutti i valori fino a 159.5 cm, perché da questo le stature sono arrotondate a 160.0 cm. Una statura di 159.7 cm appartiene già alla prossima classe.

Le vere confini di classe di questo esempio sono, in CM:

• 154.5 - 159.5
• 159.5 - 164.5
• 164.5 - 169.5
• 169.5 - 174.5
• 174.5 - 179.5

Ampiezza

L'ampiezza di una classe si ottiene sottraendo i bordi. Per il primo intervallo del nostro esempio hai 159.5 - 154.5 cm = 5 cm.

Il lettore può verificare che per gli altri intervalli dell'esempio l'ampiezza risulti anche da 5 cm. Tuttavia, è degno di nota il fatto che le distribuzioni possano essere costruite con intervalli di ampiezza diversa.

Può servirti: regola t: caratteristiche, così che lo è, esempi

Marchio di classe

È il punto medio dell'intervallo ed è ottenuto dalla media tra il limite superiore e il limite inferiore.

Per il nostro esempio, il marchio di prima classe è (155 + 159)/2 = 157 cm. Il lettore può verificare che i restanti marchi di classe siano: 162, 167, 172 e 177 cm.

Determinare i marchi di classe è importante, poiché sono necessari per trovare la media aritmetica e la varianza della distribuzione.

Misure di tendenza centrale e dispersione per dati raggruppati

Le misure di tendenza centrale più utilizzate sono la media, la mediana e la moda e descrivono precisamente la tendenza dei dati da raggrupparsi attorno a un certo valore centrale.

Metà

È una delle principali misure di tendenza centrale. Nei dati raggruppati, la media aritmetica può essere calcolata usando la formula:

 Dove:

-X è la media

-F_Yo è la frequenza della classe

-M_Yo È il marchio di classe

-G è il numero di classi

-n è il numero totale di dati

Mediano

Per la mediana è necessario identificare l'intervallo in cui si trova l'osservazione n/2. Nel nostro esempio questa osservazione è il numero 50, perché ci sono un totale di 100 dati. Questa osservazione è nell'intervallo 165-169 cm.

Quindi devi interpolare per trovare il valore numerico che corrisponde a tale osservazione, per il quale viene utilizzata la formula:

Dove:

-C = larghezza dell'intervallo dove si trova la mediana

-B_M = Il bordo inferiore dell'intervallo a cui appartiene la mediana

-F_M = quantità di osservazioni contenute nell'intervallo mediano

-N/2 = metà dei dati totali

-F_Bm = Numero totale di osservazioni prima dell'intervallo mediano

Moda

Per la moda, viene identificata la classe modale, quella che contiene la maggior parte delle osservazioni, il cui marchio di classe è noto.

Può servirti: piramide esagonale

Varianza e deviazione standard

La varianza e la deviazione standard sono misure di dispersione. Se indichiamo la varianza con S² E alla deviazione standard, che è la radice quadrata della varianza come S, per i dati raggruppati che avremo rispettivamente:

E

Esercizio risolto

Per la distribuzione della statura degli studenti universitari proposti all'inizio, calcola i valori di:

a) media

b) Medio

c) moda

d) varianza e deviazione standard.

figura 2. Quando si tratta di molti valori, come le stature di un folto gruppo di studenti, è preferibile raggruppare i dati nelle classi. Fonte: Pixabay.

Soluzione a

Costruiamo la seguente tabella per facilitare i calcoli:

Attraverso l'espressione per il gruppo medio raggruppato sopra:

Sostituire i valori e eseguire direttamente la somma:

X = (6 x 157 + 14 x 162 + 47 x 167 + 28 x 172+ 5 x 177) /100 cm =

= 167.6 cm

Soluzione b

L'intervallo a cui appartiene la mediana è di 165-169 cm perché è l'intervallo più frequentemente.

Identifichiamo ciascuno di questi valori nell'esempio, con l'aiuto della Tabella 2:

C = 5 cm (vedi la sezione di ampiezza)

B_M = 164.5 cm

F_M = 47

N/2 = 100/2 = 50

F_Bm = 20

Sostituire nella formula:

Soluzione c

L'intervallo contenuto nella maggior parte delle osservazioni è di 165-169 cm, il cui marchio di classe è di 167 cm.

Soluzione d

Espandiamo la tabella precedente aggiungendo due colonne aggiuntive:

Applichiamo la formula:

E sviluppiamo la somma:

S² = (6 x 112.36 + 14 x 31.36 + 47 x 0.36 + 28 x 19.36 + 5 x 88.36) / 99 = = 21.35 cm²

Perciò:

S = √21.35 cm² = 4.6 cm

Riferimenti

1. Berenson, m. 1985. Statistiche per l'amministrazione ed economia. Inter -American s.A.
2. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
3. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
4. Levin, r. 1988. Statistiche per gli amministratori. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
5. Spiegel, m. 2009. Statistiche. Serie Schaum. 4 TA. Edizione. McGraw Hill.
6. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.