Criteri triangoli simili

Quali sono i criteri di somiglianza dei triangoli?

I criteri di somiglianza dei triangoli sono le regole che consentono di sapere se due triangoli sono simili. La somiglianza delle figure geometriche, inclusi i triangoli, richiede che le figure abbiano allo stesso modo, sebbene non abbiano necessariamente le stesse dimensioni o lo stesso orientamento.

Affinché due triangoli siano simili, è necessario che: i) i loro lati omologhi siano proporzionali e ii) gli angoli interni di ciascuno hanno la stessa misura.

Figura 1. Due triangoli simili: sebbene non abbiano le stesse dimensioni, i loro lati sono proporzionali e i loro angoli interni hanno uguale misura. Fonte: f. Zapata.

Un rapporto proporzionale o una proporzione tra due importi A e B è rappresentato dal rapporto A/B, con B ≠ 0. Per triangoli simili, le seguenti proporzioni tra i loro lati sono valide:

a/a '= b/b' = c/c '= r

Il valore di R è chiamato Motivo di somiglianza.

Inoltre, gli angoli interni corrispondenti devono essere della stessa misura, quindi: ∠a = ∠a '; ∠b = ∠b 'e ∠c = ∠c'. Secondo queste condizioni, i criteri di somiglianza dei triangoli sono:

Criteri 1: Due triangoli sono simili se hanno due angoli interni di uguale misura. In tal caso, anche il terzo angolo misura lo stesso, poiché la somma degli angoli interni in qualsiasi triangolo è di 180º:

α = α '; β = β '

Criteri 2: I triangoli sono simili se due lati omologhi sono proporzionali e l'angolo tra loro è lo stesso:

a/a '= b/b'; α = α '

figura 2. Due criteri per stabilire la somiglianza dei triangoli. Fonte: f. Zapata.

Criteri 3: I tre lati omologhi sono proporzionali:

a/a '= b/b' = c/c '= r

Esempi

La somiglianza dei triangoli è molto utile per calcolare altezze e distanze che non sono facilmente misurabili direttamente. Attraverso alcuni semplici calcoli, è possibile scoprire queste lunghezze confrontando triangoli simili.

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Altezza di colonne, edifici e alberi

Si dice che il padre della geometria nell'antica Grecia, come Miletus (625-547 a.C.), calcolato l'altezza della colonna di un tempio senza la necessità di strumenti speciali, semplicemente confrontando la lunghezza dell'ombra del suo bastone con quella della colonna e applicando la somiglianza dei triangoli. Con lo stesso metodo è riuscito a misurare l'altezza della grande piramide dell'Egitto e quindi impressionare il faraone.

La distanza dalla luna

C'è un semplice esperimento che viene fatto per calcolare la distanza tra la terra e la luna. Richiede una valuta, un po 'di nastro adesivo e una regola vernica o di laurea. Quando la luna è piena, la valuta è attaccata al vetro di una finestra e la luna è osservata con un occhio, situato in modo tale che la valuta copra solo la luna piena.

Quando ciò accade, il motivo tra il diametro della valuta e la distanza tra l'occhio e la valuta, è lo stesso che c'è tra il diametro della luna e la distanza tra l'occhio e la luna:

Diametro della valuta/Valuta di distanza = diametro della luna/distanza dalla luna

Il motivo è circa 1/110. Il che significa che la distanza dalla luna è 110 volte il diametro di questo.

Attualmente il raggio della luna è stimato nel 1737.1 km, quindi il suo diametro è 3474.2 km. Sostituendo questo valore nella relazione:

Distanza dalla luna = diametro della luna ÷ (diametro della valuta/distanza dalla valuta)

È ottenuto:

Distanza dalla luna = 3474.2 km ÷ (1/110) = 382.162 km

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Molto vicino al valore stabilito da 384 astronomi.000 km.

Figura 3. La distanza dalla luna può essere conosciuta grazie alla somiglianza dei triangoli. Fonte: Hewitt modificato, P. Fisica concettuale.

Distanza tra una nave e la riva

Per misurare la distanza tra la nave e la riva, la posta in gioco è bloccata sulla spiaggia in punti A, B, C e Q. I triangoli ABC e PCQ sono simili per i criteri 1, poiché hanno due angoli uguali: i due angoli ∠C = α che sono opposti dal vertice e i due angoli dritti pari a 90º: ∠b = ∠q.

Si dice che due triangoli situati in questo modo siano Posizione di Thales E sono sempre simili. I triangoli sono identificati nella posizione dei tales per avere un angolo comune e i lati opposti a quell'angolo sono paralleli.

Nella sezione successiva c'è un esercizio con valori numerici.

Figura 4. Due triangoli simili nella posizione di Thales servono a calcolare la distanza perpendicolare di una nave sulla riva. Fonte: f. Zapata.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Vuoi scoprire fino a che punto la barca a vela è ancorata nella figura precedente, da un punto che si trova sulla riva della spiaggia, per i quali le quote sono inchiodate nei punti A, B, C e Q, determinando così il triangolo ABC, che è simile a PCQ, ma i cui lati sono più facili da misurare.

Calcola la distanza perpendicolare PQ tra la nave e la riva, per la somiglianza dei triangoli, se le distanze disponibili sono:

AB = 12 m

BC = 16 m

QC = 60 m

Soluzione

Le proporzioni tra i lati omologhi sono:

AB/QP = BC/CQ = 16 m/60 m = 0.267

Pertanto 0.267 è il motivo della somiglianza:

AB/QP = 0.267

QP = AB / 0.267 = 12 m / 0.267 = 44.9 m

Esercizio 2

Nel seguente triangolo: quanto misura il segmento AD?

È noto che:

• AC = 25 cm
• AB = 15 cm
• De = 3 cm

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Soluzione

I triangoli sono simili, perché condividono un angolo che è ∠C e i lati di e AB sono paralleli. Il rapporto di somiglianza è calcolato da:

R = AB / DE = 15 cm / 3 cm = 5

E anche attraverso:

R = AC / DC

Pertanto DC = AC / R = 25 cm / 5 = 5 cm

Da:

AC = AD + DC

Segue quell'ad = ac - dc = 25 cm - 5 cm = 20 cm

Esercizio 3

Un triangolo isoscele ha un perimetro di 49 cm e una base di 21 cm. Calcola il perimetro di un triangolo simile a questo, ma la cui base misura 4 cm.

Soluzione

Il triangolo isoscele ha due lati uguali, diversi dalla base b. Sia ℓ la misura dei lati e p il perimetro, che consiste nella somma dei tre lati. Per il più grande triangolo:

P = 2 ℓ + b = 49 cm

2 ℓ + 21 cm = 49 cm → ℓ = (49-21) cm / 2 = 14 cm

Ora viene sollevata la proporzione tra i lati dei triangoli, quelli del piccolo triangolo sono simboleggiati con premi:

B/ b '= ℓ/ ℓ'

21 cm / 4 cm = 14 cm / ℓ '→ ℓ' = 14 cm / (21 cm / 4 cm) = 2.67 cm

Il perimetro del piccolo triangolo sarà:

P '= 2 ℓ' + b '= (2 x 2.67) cm + 4 cm = 9.33 cm.

Riferimenti

1. Alexander, d. 2013. Geometria. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
2. Hewitt, Paul. 2012. Scienze fisiche concettuali. 5 °. Ed. Pearson.
3. Clemens, s. Geometria con applicazioni. Addison Wesley.
4. Ibáñez, p. 2010. Matematica III. Apprendimento del Cengage.
5. Jiménez, r. Matematica II: geometria e trigonometria. 2 °. Edizione. Pearson.
6. Stewart, J. 2007. Precalcolazione. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
7. Vicmat. Samos aristarco: misure del sistema solare. Recuperato da: vicmat.com