Sistema di coordinate cilindriche, cambiamento ed esercizi

IL Coordinate cilindriche Servono a individuare punti nello spazio tridimensionale e sono costituiti da una coordinata radiale ρ, una coordinata azimutale φ e una coordinata di altezza z.

Un punto P Situato nello spazio è proiettato ortogonalmente sull'aereo XY dando origine al punto P ' In quel piano. La distanza dall'origine al punto P ' Definisce la coordinata ρ, mentre l'angolo che forma l'asse X Con la semi -stretta Operazione ' Definire la coordinata φ. Infine, la coordinata z È la proiezione ortogonale del punto P sull'asse Z. (Vedi Figura 1).

Figura 1. Punto P di coordinate cilindriche (ρ, φ, z). (Elaborazione proprie)

La coordinata radiale ρ è sempre positiva, la coordinata azimutale φ varia da zero radianti a due radianti PI, mentre la coordinata Z può assumere qualsiasi valore reale:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ < z < + ∞

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Cambio di coordinate

È relativamente semplice ottenere le coordinate cartesiane (x, y, z) da un punto p dalle sue coordinate cilindriche (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Ma è anche possibile ottenere le coordinate polari (ρ, φ, z) in base alla conoscenza delle coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto p:

ρ = √ (x² + E²)

φ = arctan (y/x)

z = z

Base vettoriale in coordinate cilindriche

È definita la base dei vettori cilindrici Uρ, Uφ, Uz.

Il vettore Uρ È tangente alla linea φ = cTe e z = cTe (puntando radialmente), il vettore Uφ è tangente alla linea ρ = cTe e z = cTe e infine Uz Ha la stessa direzione dell'asse z.

figura 2. Base di coordinate cilindriche. (Wikimedia Commons)

Nella base dell'unità cilindrica, il vettore di posizione R Da un punto p è scritto vettoriale in questo modo:

Può servirti: dominio e contraddizione di una funzione (con esempi)

R = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

D'altra parte, uno spostamento infinitesimale DR Dal punto P è espresso come segue:

DR = Dρ Uρ + ρ dφ  Uφ + Dz Uz

Allo stesso modo, un elemento infinitesimale del volume DV nelle coordinate cilindriche è:

Dv = ρ dρ dφ dz

Esempi

Ci sono innumerevoli esempi dell'uso e dell'applicazione di coordinate cilindriche. Nella cartografia, ad esempio, il Proiezione cilindrica, basato proprio su queste coordinate. Ci sono altri esempi:

Esempio 1

Le coordinate cilindriche hanno applicazioni in tecnologia. Ad esempio, hai il sistema CHS (cilindro-teatro) di posizione dei dati su un disco rigido, che in realtà consiste in diversi dischi:

- Il cilindro o la traccia corrisponde alla coordinamento ρ.

- Il settore corrisponde alla posizione φ dell'album che ruota ad alto livello velocità angolare.

- La testa corrisponde alla posizione z della testa di lettura sull'album corrispondente.

Ogni byte di informazione ha un indirizzo preciso nelle coordinate cilindriche (C, S, H).

figura 2. Posizione delle informazioni in coordinate cilindriche in un sistema rigido. (Wikimedia Commons)

Esempio 2

Le gru di costruzione impostano la posizione di carico in coordinate cilindriche. La posizione orizzontale è definita dalla distanza dall'asse o dalla freccia della gru. La posizione verticale del carico è determinata dalla coordinata z dell'altezza.

Figura 3. La posizione del carico in una gru di costruzione può essere facilmente espressa in coordinate cilindriche. (Pixabay Immagine - RCOS R. Pérez)

Esercizi risolti

Esercizio 1

Ci sono i punti P1 delle coordinate cilindriche (3, 120º, -4) e il punto P2 delle coordinate cilindriche (2, 90º, 5). Trovare il Distanza euclida Tra questi due punti.

Può servirti: divisioni in cui il residuo è 300

Soluzione: Innanzitutto, procediamo a trovare le coordinate cartesiane di ciascun punto seguendo la formula che si è verificata sopra.

P1 = (3* cos 120º, 3* sen 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2* cos 90º, 2* sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

La distanza euclida tra P1 e P2 è:

D (p1, p2) = √ ((0 - (-1.5))²+(2 - 2.60)²+(5 -(-4))² ) = ..

... √ (2.25+0.36+81) = 9.14

Esercizio 2

Il punto P ha coordinate cartesiane (-3, 4, 2). Trova le corrispondenti coordinate cilindriche.

Soluzione: Le coordinate cilindriche si trovano usando le relazioni sopra:

ρ = √ (x² + E²) = √ ((-3)² + 4²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y/x) = arcan (4/(-3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

Z = 2

Va ricordato che la funzione arcangente è multivalente di periodicità 180º. Inoltre, l'angolo φ deve appartenere al secondo quadrante, poiché le coordinate X e delle punti P sono in quel quadrante. Questo è il motivo per cui 180º è stato aggiunto al risultato φ.

Esercizio 3

Esprimi in coordinate cilindriche e nelle coordinate cartesiane la superficie di un radioso cilindro 2 e il cui asse coincide con l'asse z.

SOLUZIONE: si intese che il cilindro ha un'estensione infinita nella direzione z, in modo che l'equazione di detta superficie nelle coordinate cilindriche sia:

ρ = 2

Per ottenere l'equazione cartesiana della superficie cilindrica, viene preso il quadrato di entrambi i membri dell'equazione precedente:

ρ² = 4

Moltiplichiamo per 1 entrambi i membri della precedente uguaglianza e applichiamo il Identità trigonometrica fondamentale (Sen²(φ) + cos²(φ) = 1):

1 * ρ² = 1 * 4

(Sen²(φ) + cos²(φ)) * ρ² = 1 * 4

La parentesi si sviluppa per ottenere:

(ρ sen (φ))² + (ρ cos (φ))² = 4

Può servirti: popolazione e campione

Ricordiamo che la prima parentesi (ρ sen (φ)) è le coordinate e un punto in coordinate polari, mentre la parentesi (ρ cos (φ)) rappresenta la coordinata X, in modo da lasciare L'equazione del cilindro nelle coordinate cartesiane:

E² + X² = 2²

L'equazione precedente non dovrebbe essere confusa con quella di un cerchio nel piano XY, poiché in questo caso sarebbe così: e² + X² = 2² ; Z = 0.

Esercizio 4

Un cilindro di raggio r = 1 m e altezza h = 1 m ha la sua massa distribuita radialmente secondo la seguente equazione d (ρ) = c (1 - ρ/r) dove c è una costante di valore c = 1 kg/m³. Trova la massa totale del cilindro in chilogrammi.

Soluzione: La prima cosa è rendersi conto che la funzione d (ρ) rappresenta la densità di massa volumetrica e che la massa di densità è distribuita in cascaroni cilindrici della densità decrescente del centro alla periferia. Un elemento di volume infinitesimale secondo la simmetria del problema è:

Dv = ρ dρ 2π h

Da lì devi, la massa infinitesimale di un guscio cilindrico sarà:

Dm = d (ρ) dv

Quindi la massa totale del cilindro sarà espressa da quanto segue Integrale definito:

M = ∫_O^R D (ρ) dv = ∫_O^R C (1 - ρ/r) ρ dρ 2π h = 2π h c ∫_O^R (1 - ρ/r) ρ dρ

La soluzione dell'integrale indicato non è difficile da ottenere, essendo il suo risultato:

∫_O^R (1 - ρ/r) ρ dρ = (⅙) r²

Incorporare questo risultato nell'espressione della massa del cilindro:

M = 2π H c (⅙) r² = ⅓ π h c r² =

 ⅓ π 1m*1kg/m³* 1m² = π/3 kg ≈ 1.05 kg

Riferimenti

1. Arfken G e Weber H. (2012). Metodi matematici per i fisici. Una guida completa. 7a edizione. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcolo CC. Problemi di coordinate cilindrici e sferici risolti. Recuperato da: calcolo.DC
3. Weisstein, Eric W. “Coordinate cilindriche."Da Mathworld-A Wolfram Web. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Sistema di coordinate cilindriche. Recuperato da: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Campi vettoriali in coordinate cilindriche e sferiche. Recuperato da: in.Wikipedia.com