Significato costante di integrazione, calcolo ed esempi

IL Costante di integrazione È un valore aggiunto per il calcolo degli antiderivativi o degli integrali, serve a rappresentare le soluzioni che compongono la primitiva di una funzione. Esprime un'ambiguità intrinseca in cui qualsiasi funzione ha un numero infinito di primitivi.

Ad esempio, se la funzione viene presa: f (x) = 2x + 1 e otteniamo il suo antiderivativo:

∫ (2x+1) dx = x² + X + C ; Dove C È il Costante di integrazione e rappresenta graficamente la traduzione verticale tra le infinite possibilità di primitivo. È corretto dirlo (x² + x) è UN del primitivo f (x).

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Allo stesso modo puoi definire (x² + X + C ) come primitivo di f (x).

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Proprietà inversa

Si può notare che quando derivava l'espressione (x² + x) si ottiene la funzione f (x) = 2x + 1. Ciò è dovuto alla proprietà inversa tra la derivazione e l'integrazione delle funzioni. Questa proprietà consente di ottenere formule di integrazione a partire dalla differenziazione. Che consente la verifica degli integrali attraverso gli stessi derivati.

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Tuttavia (x² + x) Non è l'unica funzione il cui derivato è uguale a (2x + 1).

1. D (X² + x)/ dx = 2x + 1
2. D (X² + x + 1)/ dx = 2x + 1
3. D (X² + x + 2)/ dx = 2x + 1
4. D (X² + x + 3)/ dx = 2x + 1
5. D (X² + X + C)/ dx = 2x + 1

Dove 1, 2, 3 e 4 rappresentano una primitiva particolare di f (x) = 2x + 1. Mentre 5 rappresenta l'integrale indefinito o primitivo di f (x) = 2x + 1.

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Il primitivo di una funzione si ottiene attraverso l'antiderivazione o il processo integrale. Dove f sarà un primitivo F se viene adempiuto

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + c; C = Costante di integrazione
• F '(x) = f (x)

È apprezzato che una funzione abbia un singolo derivato, a differenza della sua infinita primitiva derivante dall'integrazione.

L'integrale indefinito

 ∫ f (x) dx = f (x) + c

Corrisponde a una famiglia di curve con lo stesso modello, che sperimenta incongruenza nel valore delle immagini di ciascun punto (x, y). Ogni funzione che soddisfa questo modello sarà un singolo primitivo e l'insieme di tutte le funzioni è noto come Integrale indefinito.

Il valore del Costante di integrazione Sarà quello che differenzia ogni funzione in pratica.

IL Costante di integrazione Suggerisce uno spostamento verticale in tutti i grafici che rappresentano la primitiva di una funzione. Dove si osserva il parallelismo tra loro e il fatto C È il valore dello spostamento.

Secondo le pratiche comuni Costante di integrazione È indicato con la lettera "C" dopo un'aggiunta, sebbene in pratica sia indifferente se la costante aggiunge o sottrae. Il suo vero valore può essere trovato in vari modi in base a diversi condizioni iniziali.

Altri significati della costante di integrazione

Si parlava già di come Costante di integrazione è applicato nel ramo di Calcolo integrale; Rappresentando una famiglia di curve che definiscono l'integrale indefinito. Ma molte altre scienze e rami hanno assegnato valori molto interessanti e pratici del Costante di integrazione, che hanno facilitato lo sviluppo di numerosi studi.

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Nel fisico La costante di integrazione può assumere più valori in base alla natura dei dati. Un esempio molto comune è conoscere la funzione V (t) che rappresenta il velocità di una particella rispetto al tempo t. È noto che quando si calcola una v (t) si ottiene la funzione R (t) che rappresenta il posizione della particella rispetto al tempo.

IL Costante di integrazione rappresenterà il valore della posizione iniziale, vale a dire al momento t = 0.

Allo stesso modo, se la funzione è nota A)  che rappresenta il accelerazione della particella rispetto al tempo. Il primitivo di a (t) provocherà la funzione v (t), dove il Costante di integrazione Sarà il valore della velocità iniziale V₀.

Nel economia, ottenendo la primitiva di una funzione di costo mediante integrazione. IL Costante di integrazione rappresenterà i costi fissi. E così tante altre applicazioni che meritano calcolo differenziale e integrale.

Come viene calcolata la costante di integrazione?

Per il calcolo del Costante di integrazione, Sarà sempre necessario conoscere il condizioni iniziali. Che sono responsabili della definizione di quale del possibile primitivo è il corrispondente.

In molte applicazioni è trattato come una variabile indipendente al tempo (t), dove la costante C prendere i valori che definiscono il condizioni iniziali del caso particolare.

Se viene preso l'esempio iniziale: ∫ (2x+1) dx = x² + X + C

Una condizione iniziale valida può essere quella di condizionare il grafico per passare attraverso una coordinata specifica. Ad esempio, è noto che primitivo (x² + X + C) Attraversare il punto (1, 2)

F (x) = x² + X + C; Questa è la soluzione generale

F (1) = 2

Sostituiamo la soluzione generale in questa uguaglianza

F (1) = (1)² + (1) + c = 2

Dove viene facilmente dedotto C = 0

In questo modo la primitiva corrispondente per questo caso è F (x) = x² + X

Esistono vari tipi di esercizi numerici con cui funzionano Costanti di integrazione. In effetti, il calcolo differenziale e integrale non smette di essere applicato nelle indagini attuali. A diversi livelli accademici puoi trovare; Dal calcolo iniziale, attraverso la fisica, la chimica, la biologia, l'economia, tra gli altri.

È anche apprezzato nello studio di equazioni differenziali, dove il Costante di integrazione Puoi prendere vari valori e soluzioni, questo a causa dei molteplici referral e integrazioni che vengono eseguiti in questa materia.

Esempi

Esempio 1

1. Un cannone situato in alto 30 metri spara verticalmente su un proiettile. È noto che la velocità iniziale del proiettile è di 25 m/s. Determinare:

• La funzione che definisce la posizione del proiettile rispetto al tempo.
• Il tempo di volo o il tempo in cui la particella gioca a terra.

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È noto che in una accelerazione di movimento rettilinea uniformemente varia è un valore costante. Questo è il caso del lancio del proiettile, in cui l'accelerazione sarà la gravità

G = - 10 m/s²

È anche noto che l'accelerazione è la seconda derivata dalla posizione, indicando una doppia integrazione nella risoluzione dell'esercizio, ottenendo così due Costanti di integrazione.

A (t) = -10

V (t) = ∫a (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

Le condizioni iniziali dell'esercizio indicano che la velocità iniziale è V₀ = 25 m/s. Questa è la velocità al momento del tempo t = 0. In questo modo è soddisfatto che:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁   E C₁ = 25

La funzione di velocità da definire

V (t) = -10t + 25; Puoi vedere la somiglianza con la formula MRUV (V_F = V₀ + A x t)

In omologa, la funzione di velocità è integrata per raggiungere l'espressione che definisce la posizione:

R (t) = ∫v (t) dt = ∫ (-10t+25) dt = -5t² + 25T + C₂

R (t) = -5t² + 25T + C₂  (Posizione primitiva)

La posizione iniziale r (0) = 30 m è nota. Quindi viene calcolata la particolarità particolare del proiettile.

R (0) = 30m = -5 (0)² + 25 (0) + C₂ . Dove C₂ = 30

La prima sezione viene risolta da allora R (t) = -5t² + 25T + 30  ; Questa espressione è omologa della formula di spostamento in MRUV R (T) = R₀ + V₀T - gt²/2

Per la seconda sezione l'equazione quadratica deve essere risolta: -5t² + 25t + 30 = 0

Poiché condiziona la particella per raggiungere il terreno (posizione = 0)

Fonte: autore

In realtà l'equazione di 2 ° grado lancia 2 soluzioni t: 6, -1. Il valore t = -1 viene ignorato perché si tratta di unità di tempo il cui dominio non include numeri negativi.

In questo modo viene risolta la seconda sezione in cui il tempo di volo è pari a 6 secondi.

Esempio 2

2. Trova il primitivo f (x) che soddisfa le condizioni iniziali:

• f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Con le informazioni del secondo derivato f "(x) = 4 inizia il processo di antiderivazione

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫4 dx = 4x + c₁

Quindi, conoscendo la condizione f '(2) = 2 procede:

4 (2) + C₁ = 2

C₁ = -6 e f '(x) = 4x - 8

Procedere allo stesso modo per il secondo Costante di integrazione

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x² - 8x + c₂

La condizione iniziale f (0) = 7 è nota e procede:

2 (0)² - 8 (0) + C₂ = 7

C₂ = 7 e f (x) = 2x² - 8x + 7

• f "(x) = x² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Simile al problema precedente definiamo i primi derivati ​​e la funzione originale dalle condizioni iniziali.

f '(x) = ∫f "(x) dx

∫ (x²) Dx = (x³/3) + C₁

Con la condizione f '(0) = 6 proventi:

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(0³/3) + C₁ = 6; Dove₁ = 6 e f '(x) = (x³/3) + 6

Quindi il secondo Costante di integrazione

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x³/3) + 6] dx = (x⁴/12) + 6x + C₂

La condizione iniziale f (0) = 3 è nota e procede:

[(0)⁴/12] + 6 (0) + C₂ = 3; Dove₂ = 3

Si ottiene il particolare primitivo

f (x) = (X⁴/12) + 6x + 3

Esempio 3

3. Definire le funzioni primitive date i derivati ​​e un punto del grafico:

• dy/dx = 2x - 2 che passa attraverso il punto (3, 2)

È importante ricordare che i derivati ​​si riferiscono alla pendenza della linea tangente alla curva in un certo punto. Dove non è corretto supporre che il grafico del derivato tocchi il punto indicato, poiché appartiene al grafico della funzione primitiva.

In questo modo esprimiamo l'equazione differenziale come segue:

dy = (2x - 2) dx  ; Quindi quando si applica i criteri di antiderivazione hai:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x² - 2x + c

Applicare la condizione iniziale:

2 = (3)² - 2 (3) + C

C = -1

È ottenuto: f (x) = x² - 2x - 1

• dy/dx = 3x² - 1 che passa attraverso il punto (0, 2)

Esprimiamo l'equazione differenziale come segue:

dy = (3x² - 1) Dx  ; Quindi quando si applica i criteri di antiderivazione hai:

 ∫dy = ∫ (3x² - 1) Dx

y = x³ - X + C

Applicare la condizione iniziale:

2 = (0)² - 2 (0) + C

C = 2

È ottenuto: f (x) = x³ - x + 2

Esercizi proposti

Esercizio 1

1. Trova il primitivo f (x) che soddisfa le condizioni iniziali:

• f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f "(x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Esercizio 2

2. Un palloncino che sorge con la velocità di 16 piedi/s rilascia una giacca di sabbia da un'altezza di 64 piedi sopra il livello del suolo.

• Definire il tempo di volo
• Quello che sarà il vettore V_F Quando tocchi il pavimento?

Esercizio 3

3. La figura mostra il grafico di accelerazione - tempo di un'auto che si muove nel senso positivo dell'asse x. L'auto stava viaggiando a una velocità costante di 54 km/h quando il conducente ha applicato i freni per fermarsi in 10 secondi. Determinare:

• L'accelerazione iniziale dell'auto
• La velocità dell'auto a t = 5s
• Lo spostamento dell'auto durante la frenata

Fonte: autore

Esercizio 4

4. Definire le funzioni primitive date i derivati ​​e un punto del grafico:

• dy/dx = x che passa attraverso il punto (-1, 4)
• dy/dx = -x² + 1 che passa attraverso il punto (0, 0)
• dy/dx = -x + 1 che passa attraverso il punto (-2, 2)

Riferimenti

1. Calcolo integrale. Metodi integrale e integrazione indefinita. Wilson, Velásquez Bastidas. Università Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Calcolo di una variabile. Transcendente precoce. Messico: apprendimento Thomson.
3. Jiménez, r. (2011). Matematica vi. Calcolo integrale. Messico: Pearson Education.
4. Fisica i. Mc Graw Hill