Proprietà set infinite, esempi

È compreso da Set infinito quel set in cui il numero dei suoi elementi è innumerevole. Cioè, indipendentemente da quanto possa essere grande il numero dei suoi elementi, è sempre possibile trovarne di più.

L'esempio più comune di un set infinito è quello dei numeri naturali N. Non importa quanto sia grande il numero, dal momento che puoi sempre ottenere uno maggiore in un processo che non ha fine:

N  = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, ..., 41, 42, 43. . .,100, 101,…, 126, 127, 128, ...

Figura 1. Simbolo dell'infinito. (Pixabay)

L'insieme di stelle dell'universo è sicuramente immenso, ma non è sicuro che sia finito o infinito. Contrariamente al numero di pianeti del sistema solare che è noto per essere un set finito.

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Proprietà set infinite

Tra le proprietà degli insiemi infiniti possiamo sottolineare quanto segue:

1- L'unione di due set infiniti dà origine a un nuovo set infinito.

2- L'unione di un set finito con un infinito dà origine a un nuovo set infinito.

3- Se il sottoinsieme di un determinato set è infinito, allora è anche il set originale. L'affermazione reciproca non è vera.

Non è possibile trovare un numero naturale in grado di esprimere la cardinalità o il numero di elementi di un set infinito. Tuttavia, il matematico tedesco Georg Cantor ha introdotto il concetto di numero trasfinito per fare riferimento a un ordinale infinito maggiore di qualsiasi numero naturale.

Esempi

I nativi n

L'esempio più frequente di un set infinito è quello dei numeri naturali. I numeri naturali sono ciò che vengono utilizzati per contare, tuttavia i numeri interi che possono esistere sono innumerevoli.

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L'insieme di numeri naturali non include zero ed è comunemente indicato come set N, che è ampiamente espresso come segue:

N = 1, 2, 3, 4, 5, .. . Ed è chiaramente un set infinito.

I punti sospesivi vengono utilizzati per indicare che dopo un numero, un altro viene seguito e poi un altro in un processo infinito o infinito.

L'insieme di numeri naturali allegati al set che contiene il numero zero (0) è noto come set N+.

N+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. . Qual è il risultato dell'Unione dell'infinito N Con il set finito O = 0, risultante nel set di infinito N+.

I numeri interi z

L'insieme di numeri interi Z È costituito da numeri naturali, numeri naturali con un segno negativo e zero.

L'intero numero Z Sono considerati un'evoluzione per quanto riguarda il numero naturale N usato originariamente e primitivamente nel processo di conteggio. 

Nel set numerico Z Lo zero è incorporato dai numeri interi per contare o contare qualsiasi cosa e i numeri negativi per tenere conto dell'estrazione, della perdita o della mancanza di qualcosa.

Per illustrare l'idea, supponiamo che nel conto bancario ci sia un saldo negativo. Ciò significa che il conto è inferiore a zero e non è solo che il conto è vuoto ma che ha una differenza mancante o negativa, che in qualche modo deve riprendersi in banca.

Esteso il set infinito Z Di tutti i numeri è scritto in questo modo:

Z = .. ., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

Il razionale q

Nell'evoluzione del processo di conteggio e di scambio di cose, beni o servizi, compaiono numeri frazionari o razionali.

Ad esempio, nello scambio di pane medio con due mele, al momento della registrazione della transazione, qualcuno ha trovato quella metà dovrebbe essere scritta come una divisa o sezionata in due parti: ½. Ma la metà della metà del pane verrebbe registrata nei libri contabili come segue: ½ / ½ = ¼.

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È chiaro che questo processo di divisione può essere infinito in teoria, sebbene in pratica sia fino a quando non viene raggiunta l'ultima particella di pane.

L'insieme di numeri razionali (o frazionari) è indicato come segue:

Q = …, -3, .. ., -2,…, -1,…, 0,…, 1,…, 2,…, 3,…

I punti sospesivi tra i due numeri interi significa che tra questi due numeri o valori ci sono partizioni o divisioni infinite. Ecco perché si dice che l'insieme di numeri razionali sia infinitamente denso. Questo perché indipendentemente da quanto si possano essere vicini due numeri razionali tra loro, si possono trovare valori infiniti.

Per illustrare quanto sopra, supponiamo che ci venga chiesto di trovare un numero razionale tra 2 e 3. Questo numero può essere 2⅓, che è ciò che è noto come un numero misto composto da 2 parti intere più un terzo dell'unità, che equivale a scrivere 4/3.

Tra 2 e 2⅓ si può trovare un altro valore, ad esempio 2⅙. E tra 2 e 2⅙ si può trovare un altro valore, ad esempio 2⅛. Tra questi due altri, e tra loro un altro, un altro e un altro.

figura 2. Divisioni infinite in numeri razionali. (Wikimedia Commons)

Numeri irrazionali i

Ci sono numeri che non possono essere scritti come divisione o frazione di due numeri interi. È questo set numerico che è noto come set i di numeri irrazionali ed è anche un set infinito.

Alcuni elementi o rappresentanti notevoli di questo set numerico sono il numero PI (π), il numero Eulero (E), Il rapporto tra numero d'oro o dorato (φ). Questi numeri possono essere scritti approssimativamente da un numero razionale:

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π = 3.1415926535897932384626433832795… e continua a infinito e oltre ...)

E = 2.7182818284590452353602874713527 .. .(E continua oltre l'infinito ...)

φ = 1.61803398874989484820 ... (all'infinito ... e oltre ...)

Altri numeri irrazionali compaiono quando si tenta di trovare soluzioni a equazioni molto semplici, ad esempio l'equazione x^2 = 2 non ha una soluzione razionale esatta. La soluzione esatta è espressa dalla seguente simbologia: x = √2, che legge equis uguale a seguito di due. Un'espressione razionale approssimativa (o decimale) di √2 è:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097. 

Ci sono innumerevoli numeri irrazionali, √3, √7, √11, 3^(⅓), 5^(⅖) per citarne alcuni.

L'insieme di Royal R

Il numero reale è il set numerico che viene utilizzato più frequentemente nel calcolo matematico, in fisica e ingegneria. Questo set numerico è l'unione dei numeri razionali Q e numeri irrazionali Yo:

R = Q O Yo

Infinito

Tra gli infiniti set alcuni sono maggiori di altri. Ad esempio, l'insieme di numeri naturali N È infinito, tuttavia è un sottoinsieme di numeri interi Z che è anche infinito, quindi l'infinito Z è maggiore del set infinito N.

Allo stesso modo, insieme di numeri interi Z È un sottoinsieme di numeri reali R, e quindi l'insieme R È "più infinito" rispetto al set infinito Z.

Riferimenti

1. Celebrare. Esempi di set infiniti. Recuperato da: Celebima.com
2. Fonti, a. (2016). Matematica di base. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
3. Garo, m. (2014). Matematica: equazioni quadratiche: come risolvere un'equazione quadratica. Marilù garo.
4. Haeussler, e. F., & Paul, R. S. (2003). Matematica per l'amministrazione ed economia. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, m., Estrada, r. (2005). Matematica 1 settembre. Soglia.
6. Precious, c. T. (2005). Corso di matematica 3O. PROGRESO EDITORIALE.
7. Rock, n. M. (2006). Algebra I è facile! Così facile. Team Rock Press.
8. Sullivan, j. (2006). Algebra e trigonometria. Pearson Education.
9. Wikipedia. Set infinito. Recuperato da: è.Wikipedia.com