Shock elastici in una dimensione, casi speciali, esercizi

IL Shock elastici o Le collisioni elastiche consistono in brevi ma intense interazioni tra gli oggetti, in cui sono conservate sia la quantità di movimento che l'energia cinetica. Gli shot sono eventi molto frequenti in natura: dalle particelle subatomiche alle galassie, passando attraverso palline di biliardo e auto shock nei parchi di attrazione, tutti sono oggetti in grado di scontrarsi.

Durante una collisione o uno shock, le forze di interazione tra oggetti sono molto intense, molto più di quelle che possono agire esternamente. In questo modo si può affermare che durante la collisione, le particelle formano un sistema isolato.

Le collisioni tra palline di biliardo possono essere considerate elastiche. Fonte: Pixabay.

In questo caso è soddisfatto che:

Dove P È la quantità di movimento vettoriale, la cui grandezza è MV (Massa di velocità). Se il derivato di P è null, significa che P è costante. E questo significa che non varia, che è conservato. Pertanto possiamo affermare che:

P_O = P_F

La quantità di movimento P_O prima della collisione è la stessa di dopo la collisione. Questo viene soddisfatto per qualsiasi collisione di tipo, sia elastico che anelastico.

Ora devi considerare quanto segue: Durante una collisione gli oggetti sperimentano una certa deformazione. Quando lo scontro è elastico, gli oggetti riguadagnano rapidamente la loro forma originale.

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Conservazione dell'energia cinetica

Normalmente durante uno shock, parte dell'energia degli oggetti viene spesa in calore, deformazione, suono e talvolta anche nella produzione di luce. Quindi l'energia cinetica del sistema dopo la collisione è inferiore all'energia cinetica originale.

Quando l'energia cinetica k, viene conservata allora:

K_O = K_F

Il che significa che le forze che agiscono durante la collisione sono conservative. Mentre la collisione dura l'energia cinetica viene brevemente trasformata in energia potenziale e quindi è di nuovo un'energia cinetica. Le rispettive energie cinetiche variano, ma la somma rimane costante.

Le collisioni perfettamente elastiche non sono frequenti, sebbene le palline di biliardo siano un approccio abbastanza buono, così come le collisioni che si svolgono tra molecole di gassa ideali.

Shock elastici in una dimensione

Esaminiamo una collisione di due particelle di questo in un'unica dimensione; Cioè, le particelle che interagiscono muovono, diciamo, lungo l'asse x. Supponiamo di avere masse M₁ E M₂. Le velocità iniziali di ciascuno sono O₁ E O₂ rispettivamente. Le velocità finali sono v₁ E v₂.

Possiamo fare a meno della notazione vettoriale, poiché il movimento viene eseguito lungo l'asse X, tuttavia, i segni (-) e (+) indicano il significato del movimento. A sinistra è negativo e alla destra positiva, per convenzione.

Può servirti: reti bravais: concetto, caratteristiche, esempi, esercizi

-Formule per collisioni elastiche

Per la quantità di movimento

M₁O₁ + M₂O₂ = m₁v₁ + M₂v₂

Per energia cinetica

½ m₁O²₁ + ½ m₂O²₂ = ½ m₁v²₁ +  ½ m₂v²₂

Ogni volta che sono note le masse e le velocità iniziali, è possibile raggruppare le equazioni per trovare le velocità finali.

Il problema è che in linea di principio è necessario. L'ideale sarebbe quello di trovare espressioni che non li contengano.

Il primo è fare a meno del ½ fattore e riorganizzare entrambe le equazioni in modo tale che appare un segno negativo e le masse possono essere fattore:

M₁O₁ - M₁v₁ = M₂v₂ - M₂O₂

M₁O²₁ - M₁v²₁  = +M₂v²₂ - M₂O²₂

Essere espresso in questo modo:

M₁(O₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - O₂)

M₁(O²₁ - v²₁ ) = m₂ (v²₂ - O²₂)

Semplificazione per eliminare i quadrati dalle velocità

Ora devi usare il prodotto notevole, aggiunge alla sua differenza nella seconda equazione, che ottiene un'espressione che non contiene i quadrati, come originariamente desiderato:

M₁(O₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - O₂)

M₁(O₁ - v₁ ) (O₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - O₂) (v₂ + O₂)

Il prossimo passo è sostituire la prima equazione nella seconda:

M₂(v₂ - O₂) (O₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - O₂) (v₂ + O₂)

E quando il termine viene ripetuto M₂(v₂ - O₂) Su entrambi i lati dell'uguaglianza, questo termine è cancellato ed è così:

(O₁ + v₁) = (V₂ + O₂)

O anche meglio:

O₁ - O₂= v₂ -  v₁

Velocità finali v₁ e v₂ delle particelle

Ora ci sono due equazioni lineari con cui è più facile lavorare. Li metteremo di nuovo sotto l'altro:

M₁O₁ + M₂O₂ = m₁v₁ + M₂v₂

O₁ - O₂= v₂ -  v₁

Moltiplicando la seconda equazione di M₁ E l'aggiunta del termine al termine rimane:

M₁O₁ + M₂O₂ = m₁v₁ + M₂v₂

M₁O₁ - M₁O₂= m₁v₂ - M₁ v₁

-

2 m₁O₁ + (M₂ - M₁) O₂ = (m₂ + M₁) v₂

Ed è già possibile cancellare v₂. Per esempio:

Un trattamento simile può essere fatto per trovare un'equazione per v₁. Il lettore viene lasciato come un esercizio per dimostrare che:

Casi speciali in collisioni elastiche

Ora che le equazioni sono disponibili per le velocità finali di entrambe le particelle, è tempo di analizzare alcune situazioni speciali.

Due masse identiche

Poi M₁ = m₂ = m E:

v₁ = u₂

v₂ = u₁

Le particelle si scambiano semplicemente le loro velocità dopo la collisione.

Due masse identiche, una delle quali inizialmente era a riposo

Ancora  M₁ = m₂ = m e assumendolo O₁ = 0:

v₁ = u₂

v₂ = 0

Dopo l'incidente, la particella che era a riposo acquisisce la stessa velocità della particella che si era mossa, e a sua volta si ferma.

Può servirti: pressione idraulica

Due diverse masse, una delle quali inizialmente a riposo

In questo caso, supponiamo O₁ = 0, Ma le masse sono diverse:

Cosa succede se M₁ è molto più grande di M₂?

Succede che m₁ Mantenere a riposo e M₂ Viene restituito con la stessa velocità con cui ha avuto un impatto.

Coefficiente o regola di restituzione di Huygens-Newton

In precedenza è stata dedotta la seguente relazione tra le velocità per due oggetti nella collisione elastica: O₁ - O₂ = v₂ -  v₁. Queste differenze sono le velocità relative prima e dopo la collisione. In generale, per una collisione è soddisfatto che:

O₁ - O₂ = -(V₁ -  v₂)

Il concetto di velocità relativa è meglio apprezzato se il lettore immagina che si trovi su una delle particelle e da questa posizione osserva la velocità con cui si muove l'altra particella. L'equazione precedente è riscritta in questo modo:

Se l'energia cinetica non viene preservata, il quoziente indicato sarà inferiore a 1. Chiamiamo E al valore di detto quoziente senza dimensioni:

O Bene:

Il valore di E è tra 0 e 1 e si chiama coefficiente di restituzione. Quando lo scontro è elastico, e = 1. Quando è totalmente anelastico, E = 0, mentre se ha un altro valore intermedio, una certa energia cinetica si è dispersa in altri tipi di energia.

Esercizi risolti

-Esercizio risolto 1

Una palla da biliardo si sposta a sinistra a 30 cm/s, scontrandosi dalla parte anteriore con un'altra palla identica che si sposta a destra a 20 cm/s. Le due palle hanno lo stesso impasto e l'incidente è perfettamente elastico. Trova la velocità di ogni palla dopo l'impatto.

Soluzione

O₁ = -30 cm/s

O₂ = +20 cm/s

Questo è il caso speciale che due masse identiche si scontrano in una dimensione elasticamente, quindi le velocità vengono scambiate.

v₁ = +20 cm/s

v₂ = -30 cm/s

-Esercizio risolto 2

Il coefficiente di restituzione di una palla che rimbalza sul terreno è pari a 0,82. Se cadi dal riposo, quale frazione della tua altezza originale raggiungerà la palla dopo essere rimbalzata una volta? E dopo 3 rimbalzi?

Una palla rimbalza contro una superficie ferma e perde altezza ad ogni rimbalzo. Fonte: sé realizzato.

Soluzione

Il suolo può essere oggetto 1 nell'equazione del coefficiente di restituzione. Ed è sempre a riposo, così:

La direzione negativa viene scelta e il positivo. La velocità di un oggetto che viene liberamente rilasciato da una certa altezza H_O È:

Il segno (-) indica che la palla scende:

Può servirti: Torricelli Experiment: misure di pressione atmosferica, importanza

 

Con questa velocità che rimbalza:

 

Il segno + indica che è una velocità ascendente. E secondo essa, la palla raggiunge un'altezza massima di:

 

Ora torna di nuovo a terra con velocità della stessa grandezza, ma il segno opposto:

E rimbalza con:

Questo raggiunge un'altezza massima di:

Raggiungere di nuovo il terreno con:

Rimbalzi successivi

Ogni volta che la palla rimbalza e sale, devi moltiplicare di nuovo la velocità di 0.82:

E raggiunge un'altezza massima determinata dal quadrato di detta velocità:

A questo punto H₃ è circa il 30% di H_O. Quale sarebbe l'altezza al sesto rimbalzo senza dover fare calcoli dettagliati come i precedenti?

Sarei H₆ = 0.82¹² H_O = 0.092h_O o solo il 9% di H_O.

-Esercizio risolto 3

Un blocco di 300 g si sposta a nord a 50 cm/s e si scontrano contro un blocco di 200 g diretto a sud di 100 cm/s. Supponiamo che lo scontro sia perfettamente elastico. Trova le velocità dopo l'impatto.

Dati

M₁ = 300 g; O₁ = + 50 cm/s

M₂ = 200 g; O₂ = -100 cm/s

-Esercizio risolto 4

Viene rilasciata una massa di M₁ = 4 kg dal punto indicato in pista senza attrito, fino a quando non si scontra con m₂ = 10 kg a riposo. A ciò che un'altezza è m₁ Dopo la collisione?

Soluzione

Poiché non c'è attrito, l'energia meccanica viene conservata per trovare la velocità O₁ con Cosa M₁ impatti  M_2. Inizialmente l'energia cinetica è 0, poiché M₁ parte del resto. Quando si muove sulla superficie orizzontale non ha altezza, quindi l'energia potenziale è 0.

Mgh = ½ mu₁ ²

 

O₂ = 0

Ora la velocità di M₁ Dopo la collisione:

Il segno negativo significa che è stato restituito. Con questa velocità sale e l'energia meccanica viene nuovamente conservata per trovare H ', L'altezza in cui riesce a salire dopo l'incidente:

½ mv₁² = MGH '

Si noti che non torni al punto di partenza a 8 m di altezza. Non ha abbastanza energia perché ha dato parte della sua energia cinetica la massa M_1.

Riferimenti

1. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, a. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 135-155.
3. Serway, r., Vulle, c. 2011. Fondamenti di fisica. 9^{n / a} Apprendimento del Cengage. 172 -182
4. Tipler, p. (2006) Fisica per la scienza e la tecnologia. 5 ° ed. Volume 1. Editoriale tornato. 217-238
5. Tippens, p. 2011. Fisica: concetti e applicazioni. 7a edizione. MacGraw Hill. 185 -195