Storia storica della geometria analitica

IL Storia storica della geometria analitica Tornano al diciassettesimo secolo, quando Pierre de Fermat e René Cartes hanno definito la loro idea fondamentale. La sua invenzione seguì la modernizzazione dell'algebra e la notazione algebrica di François Viète.

Questo campo ha le sue basi nell'antica Grecia, specialmente nelle opere di Apollonio ed Euclide, che hanno avuto una grande influenza in quest'area della matematica.

L'idea essenziale alla base della geometria analitica è che una relazione tra due variabili, in modo che l'una è una funzione dell'altra, definisce una curva. Questa idea è stata sviluppata per la prima volta da Pierre de Fermat. Grazie a questo quadro essenziale, Isaac Newton e Gottfried Leibniz potrebbero sviluppare il calcolo.

Il filosofo francese Descartes ha anche scoperto un approccio algebrico alla geometria, apparentemente da solo. Il lavoro di Descartes sulla geometria appare nel suo famoso libro Discorso del metodo.

Questo libro sottolinea che le costruzioni di bussole e geometriche di bordi dritti coinvolgono la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e le radici quadrate.

La geometria analitica rappresenta l'unione di due importanti tradizioni in matematica: geometria come lo studio della forma e aritmetica e algebra, che hanno a che fare con quantità o numeri. Pertanto, la geometria analitica è lo studio del campo della geometria utilizzando sistemi di coordinate.

Storia

Sfondo di geometria analitica

La relazione tra geometria e algebra si è evoluta nel corso della storia della matematica, sebbene la geometria abbia raggiunto un precedente grado di maturità.

Euclid de Mégara

Ad esempio, il matematico greco Euclide è stato in grado di organizzare molti risultati nel suo libro classico Gli elementi.

Ma fu l'ex Apollonius greco di Perga a prevedere lo sviluppo della geometria analitica nel suo libro Conico. Ha definito un conico come l'intersezione tra un cono e un piano.

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Usando i risultati dell'euclide in triangoli simili e cerchi secchi, ha trovato una relazione data dalle distanze di qualsiasi punto "p" di una conica a due linee perpendicolari, l'asse maggiore di un conico e la tangente in un punto finale dell'asse. Apollonius ha usato questa relazione per dedurre le proprietà fondamentali della conica.

Il successivo sviluppo di sistemi di coordinate in matematica è emerso solo dopo che l'algebra era maturato grazie ai matematici islamici e indiani.

Fino al Rinascimento, la geometria fu usata per giustificare le soluzioni per i problemi algebrici, ma non c'era molto che l'algebra potesse contribuire alla geometria.

Questa situazione cambierebbe con l'adozione di una notazione conveniente per le relazioni algebriche e lo sviluppo del concetto di funzione matematica, che ora era possibile.

Century XVI

Alla fine del XVI secolo, il matematico francese François Viète introdusse la prima notazione algebrica sistematica, usando lettere per rappresentare importi numerici, sia noti che sconosciuti.

Ha anche sviluppato potenti metodi generali per lavorare espressioni algebriche e risolvere le equazioni algebriche.

François Viète

Grazie a ciò, i matematici non dipendevano completamente da figure geometriche e intuizione geometrica per risolvere i problemi.

Persino alcuni matematici hanno iniziato ad abbandonare il modo di pensare geometrico standard, secondo il quale le variabili lineari lineari e quadrate corrispondono alle aree, mentre i cubi corrispondono a volumi.

I primi a fare questo passo sono stati il ​​filosofo e matematico René Descartes, e l'avvocato e matematico Pierre de Fermat.

Fondazione della geometria analitica

Descartes e Fermat fondati in modo indipendente geometria analitica durante il 1630, adottando l'algebra di Viète per lo studio del luogo geometrico.

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Questi matematici si sono resi conto che l'algebra era uno strumento di grande potenza nella geometria e inventato quello che ora è noto come geometria analitica.

Un anticipo che hanno raggiunto è stato quello di superare VIète quando si utilizzano lettere per rappresentare le distanze variabili anziché fisse.

Descartes ha usato le equazioni per studiare le curve definite geometricamente e ha evidenziato la necessità di considerare le curve generali algebriche -ografiche delle equazioni polinomiali nei gradi "X" e "Y".

Pierre de Fermat

Da parte sua, Fermat ha sottolineato che qualsiasi relazione tra "X" e "Y" coordinata determina una curva.

Usando queste idee, ha ristrutturato le dichiarazioni di Apollonius sui termini algebrici e ha ripristinato alcune delle sue opere perdute.

Fermat ha indicato che qualsiasi equazione quadratica in "x" e "y" può essere collocata nella forma standard di una delle sezioni coniche. Nonostante ciò, Fermat non ha mai pubblicato il suo lavoro svolto sull'argomento.

Grazie ai suoi progressi, ciò che Archimede poteva risolvere solo con grande difficoltà e per casi isolati, Fermat e Descartes potevano risolverlo rapidamente e per un gran numero di curve (ora noto come curve algebriche).

Ma le sue idee hanno guadagnato solo l'accettazione generale attraverso gli sforzi di altri matematici nell'ultima metà del diciassettesimo secolo.

I matematici Frans Van Schooten, Florimond de Beaune e Johan de Witt hanno contribuito ad espandere il lavoro di DeCartes e hanno aggiunto un importante materiale aggiuntivo.

Influenza

In Inghilterra John Wallis ha reso popolare la geometria analitica. Equazioni usate per definire conici e derivare le loro proprietà. Sebbene io abbia usato coordinate negativamente negative, è stato Isaac Newton a usare due assi obliqui per dividere il piano in quattro quadranti.

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Newton e tedesco Gottfried Leibniz hanno rivoluzionato la matematica alla fine del 17 ° secolo dimostrando il potere del calcolo in modo indipendente.

Newton ha dimostrato l'importanza dei metodi analitici nella geometria e il loro ruolo nel calcolo, quando ha affermato che qualsiasi cubo (o una curva algebrica di terza grado) ha tre o quattro equazioni standard per gli assi di coordinate appropriate. Con l'aiuto dello stesso Newton, il matematico scozzese John Stirling l'ha provato nel 1717.

Geometria analitica di tre e più dimensioni

Sebbene sia Descartes che Fermat suggerivano di utilizzare tre coordinate per studiare curve e superfici nello spazio, la geometria analitica tridimensionale fu lentamente sviluppata fino al 1730.

Leonhard Euler

I matematici di Euler, Hermann e Clairaut hanno prodotto equazioni generali per cilindri, coni e superfici della rivoluzione.

Ad esempio, Euler ha usato le equazioni per le traduzioni nello spazio per trasformare la superficie quadratica generale, in modo che i suoi assi principali coincidessero con i suoi assi coordinati.

Euler, Joseph-Louis LaGrange e Gaspard Monge hanno causato la geometria analitica indipendente dalla geometria sintetica (non analitica).

Riferimenti

1. Lo sviluppo della geometria analitica (2001). Recuperato dall'enciclopedia.com
2. Storia della geometria analitica (2015). Recuperato da MAA.org
3. Analisi (matematica). Recuperato dalla Britannica.com
4. Geometria analitica. Recuperato dalla Britannica.com
5. Descartes e la nascita della geometria analitica. Recuperato da ScienceDirect.com