Concetti di analisi mesh, metodi, esempi

Lui Analisi mesh È una tecnica utilizzata per risolvere i circuiti elettrici piatti. Questa procedura può apparire anche in letteratura con i nomi dei metodi del Currenti del circuito o Metodo di Currenti a maglie (o loop).

La fondazione di questo e di altri metodi di analisi del circuito elettrico è nelle leggi di Kirchhoff e della legge di Ohm. Le leggi di Kirchhoff a loro volta, sono espressioni di due principi molto importanti di conservazione in fisica per sistemi isolati: sia la carica elettrica che l'energia sono conservate.

Figura 1. I circuiti fanno parte di innumerevoli dispositivi. Fonte: Pixabay.

Da un lato, la carica elettrica è correlata alla corrente, che è in movimento, mentre in un circuito l'energia è collegata alla tensione, che è l'agente responsabile del lavoro necessario per mantenere il carico in movimento.

Queste leggi, applicate a un circuito piatto, generano una serie di equazioni simultanee che devono essere risolte per ottenere valori di corrente o tensione.

Il sistema di equazioni può essere risolto con tecniche analitiche già note, come Regola di Cramer, che richiede il calcolo dei determinanti per ottenere la soluzione di sistema.

A seconda del numero di equazioni, vengono risolte utilizzando un calcolatore scientifico o un software matematico. Sulla rete ci sono anche molte opzioni disponibili.

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Termini importanti

Prima di spiegare come funziona, inizieremo definendo questi termini:

Ramo: Sezione contenente un elemento del circuito.

Nodo: punto che collega due o più rami.

Nastro: È una parte chiusa di un circuito, che inizia e termina nello stesso nodo.

Maglia: Loop che non contiene nessun altro legame all'interno (mesh essenziale).

Metodi

L'analisi mesheal è un metodo generale che serve a risolvere i circuiti i cui elementi sono collegati in serie, in parallelo o miscelato, ovvero quando il tipo di connessione non è chiaramente distinto. Il circuito deve essere piatto, o almeno deve essere possibile rimborsarlo come tale.

figura 2. Circuiti piatti e non flat. Fonte: Alexander, C. 2006. Fondazioni di circuiti elettrici. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.

Un esempio di ciascun tipo di circuito è mostrato nella figura sopra. Una volta che il punto è stato chiarito, per iniziare, applicheremo il metodo a un semplice circuito come esempio nella sezione successiva, ma prima di rivedere brevemente le leggi di Ohm e Kirchhoff.

Legge di Ohm: Sean V La tensione, R la resistenza e Yo La corrente dell'elemento resistivo ohmico, in cui la tensione e la corrente sono direttamente proporzionali, la resistenza è la costante di proporzionalità:

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V = i.R

Voltaggio Kirchhoff Law (LKV): In qualsiasi traiettoria chiusa viaggiata in una direzione, la somma algebrica delle tensioni è zero. Ciò include tensioni dovute a fonti, resistori, induttori o condensatori: ∑ e = ∑ r_Yo. Yo

Kirchhoff della corrente (LKC): In qualsiasi nodo, la somma algebrica delle correnti è zero, tenendo conto del fatto che alle correnti a cui entrano viene assegnato un segno e al quale un altro esce. In questo modo: ∑ i = 0.

Con il metodo delle correnti di mesh non è necessario.

- Passaggi per applicare l'analisi delle mesh

Inizieremo a spiegare il metodo per un circuito a 2 mesh. La procedura può essere estesa in seguito per circuiti più grandi.

Figura 3. Circuito con resistenze e fonti disposte in due maglie. Fonte: f. Zapata.

Passo 1

Assegnare e disegnare correnti indipendenti a ciascuna mesh, in questo esempio lo sono Yo₁ E Yo₂. Possono essere disegnati in un programma o anche anti -horary.

Passo 2

Applicare la legge sulle tensioni di Kirchhoff (LTK) e la legge di Ohm su ogni mesh. Ai potenziali cadute viene assegnato un segno (-) mentre gli aumenti sono assegnati il ​​segno (+).

Mesh abcda

A partire dal punto A e seguendo il significato della corrente, troviamo un aumento del potenziale nella batteria E1 (+), quindi una caduta di R₁ (-) e poi un'altra caduta in r₃ (-).

Contemporaneamente, la resistenza r₃ È anche attraversato dalla corrente i₂, Ma nella direzione opposta, quindi rappresenta un aumento (+). La prima equazione è così:

E₁-R₁.Yo₁ -R₃.Yo₁ + R₃.Yo₂ = 0

Termini di factoring immediatamente e ri -propromozione:

- (R₁+R₃) Yo₁ +R₃Yo₂ = -E₁  (Equazione 1)

Mesh CEFDC 

A partire dal punto E e seguendo il significato della corrente è un potenziale calo R₂ (-), un'altra caduta E₂, Poiché la corrente entra attraverso il polo batteria + e infine un altro caduta R₃ (-), allo stesso tempo la corrente Yo₁ Attraversa R₃ Nella direzione opposta (+).

La seconda equazione, con i segni indicati, rimane in questo modo:

- R₂ Yo₂ - E₂ -R₃ Yo₂ +R₃ Yo₁= 0

R₃Yo₁ - (R₂ +R₃₎ Yo₂ = E₂  (Equazione 2)

Si noti che ci sono due equazioni con le due incognite e₁ e io₂.

Passaggio 3

Quindi il sistema di equazioni così formati viene risolto.

Esercizi risolti

Per iniziare, è importante tenere conto di quanto segue:

-Le correnti dei legami o della mesh possono essere assegnate una direzione arbitraria.

-Ad ogni mesh essenziale - o "finestra" - che al circuito deve essere assegnata una corrente.

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-Le correnti di mesh sono chiamate con lettere maiuscole per distinguerle dalle correnti che circolano nei rami, sebbene in alcuni casi la corrente che circola attraverso un ramo può essere la stessa di quella della mesh.

- Esempio 1

Trova le correnti che circolano attraverso ciascuna resistenza nel circuito in Figura 3, se gli elementi hanno i seguenti valori:

R₁ = 20 Ω; R₂ = 30 Ω; R₃ = 10 Ω; E₁ = 12 V; E₂ = 18 V

Soluzione

In primo luogo è necessario assegnare le correnti di mesh e₁ e io₂ e prendere il sistema di equazioni come dedotto nella sezione precedente, quindi sostituire i valori indicati nell'istruzione:

- (R₁+R₃) Yo₁ +R₃Yo₂ = -E₁  (Equazione 1)

R₃Yo₁ - (R₂ +R₃₎ Yo₂ = E₂     (Equazione 2)

-

-(20+30) Yo₁ + 10i₂ = -12

10i₁ - (30 +10) i₂ = 18      

--

-cinquantaYo₁ + 10i₂ = -12

10i₁ - 40 i₂ = 18      

Poiché è un sistema di equazioni di 2 x 2, può essere facilmente risolto per riduzione, moltiplicando per 5 la seconda equazione per eliminare sconosciuto Yo₁:

-cinquantaYo₁ + 10 i₂ = -12

50i₁ - 200 i₂ = 90

-     

-190 i₂= 78

Yo₂ = - 78/180 a = - 0.41 a

La corrente viene immediatamente cancellata Yo₁ di una qualsiasi delle equazioni originali:

Yo₁ = (18 + 40 i₂) / 10 = (18 + 40 x (-0.41)) / 10 = 0.16 a

Il segno negativo nella corrente Yo₂ significa che la corrente nella mesh a 2 circola contrariamente al disegno.

Le correnti in ogni resistenza sono le seguenti:

Per resistenza R₁ La corrente circola Yo₁ = 0.16 a Nel senso disegnato, per resistenza R₂ La corrente circola Yo₂ = 0.41 a Contrariamente al disegno e per la resistenza R₃ circola Yo₃ = 0.16- (-0.41) a = 0.57 a giù.

Soluzione di sistema con il metodo di Cramer

In modo matrice, il sistema può essere risolto come segue:

Passaggio 1: calcola Δ

 Importante: Quando Δ = 0, il sistema non ha soluzione, è un sistema incompatibile.

Passaggio 2: calcola Δ₁

La prima colonna è sostituita dai termini indipendenti del sistema di equazioni, mantenendo l'ordine in cui il sistema è stato originariamente sollevato:

Passaggio 3: calcola i₁

Yo₁ = Δ₁/Δ = 300/1900 = 0.16 a

Passaggio 4: calcola Δ₂

 Passaggio 5: calcola i₂

Yo₂ = Δ₂/Δ = -780/1900 = -0.41 a

- Esempio 2

Determinare la corrente e le tensioni attraverso ciascuna resistenza nel seguente circuito, mediante il metodo delle correnti mesh:

Figura 4. 3 circuiti a maglie. Fonte: Boylestad, R. 2011. Introduzione all'analisi del circuito.2 °. Edizione. Pearson.

Soluzione

Le tre correnti di mesh sono disegnate, come mostrato nella figura seguente, in sensi arbitrari. Ora le mesh sono funzionanti da qualsiasi luogo:

Può servirti: imantation: cosa consiste, metodo ed esempi Figura 5. Le correnti di mesh per l'esercizio 2. Fonte: f. Zapata, modificato da Boylestad.

Mesh 1

-9100.Yo₁+18-2200.Yo₁+9100.Yo₂= 0

-11300 i₁ + 9100.Yo₂ = -18

Mesh 2       

-(7500 +6800 +9100) .Yo₂ + 9100.Yo₁+6800.Yo₃-18 = 0

9100.Yo₁ - 23400.Yo₂ + 6800.Yo₃ = 18

Mesh 3  

-(6800 + 3300) i₃ + 6800.Yo₂ - 3 = 0

6800.Yo₂ - 10100.Yo₃ = 3

Sistema di equazioni

-11300 i₁ + 9100.Yo₂ + 0.Yo₃= -18

9100.Yo₁ - 23400.Yo₂ + 6800.Yo₃ = 18

0.Yo₁ + 6800.Yo₂ - 10100.Yo₃ = 3

Sebbene i numeri siano grandi, viene rapidamente risolto con l'aiuto di una calcolatrice scientifica. Ricorda che le equazioni devono essere ordinate e aggiungere zeri nei luoghi in cui l'ignoto non appare, come appare qui.

Le correnti di mesh sono:

Yo₁ = 0.0012 a; Yo₂ = -0.00048 a; Yo₃ = -0.00062 a

Le correnti Yo₂ E Yo₃ Circolano nella direzione opposta nella figura, poiché si sono rivelati negativi.

Tabella di correnti e tensioni in ciascuna resistenza

Resistenza (ω)	Corrente (amp)	Tensione = i.R (volt)
9100	Yo1 -Yo2 = 0.0012-(-0.00048) = 0.00168	quindici.3
3300	0.00062	2.05
2200	0.0012	2.64
7500	0.00048	3.60
6800	Yo2 -Yo3= -0.00048-(-0.00062) = 0.00014	0.95

Soluzione della regola di Cramer

Dal momento che sono grandi numeri, è conveniente usare la notazione scientifica per lavorare direttamente con loro.

Calcolo di i₁

Le frecce a colori nel determinante 3 x 3 indicano come trovare valori numerici, moltiplicando i valori indicati. Cominciamo ottenendo quelli della prima staffa nel determinante Δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2.67 x 10¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

Otteniamo immediatamente la seconda fascia nello stesso determinante, che funziona da sinistra a destra (per questa fascia le frecce colorate non sono state disegnate nella figura). Invitiamo il lettore a verificarlo:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8.364 x 10^undici

6800 x 6800 x (-11300) = -5.225 x 10^undici

Allo stesso modo, il lettore può anche verificare i valori per il determinante Δ₁.

Importante: Tra le due parentesi c'è sempre un segno negativo.

Finalmente si ottiene la corrente Yo₁ Attraverso Yo₁ = Δ₁ / Δ

Yo₁ = -1.582 x 10⁹/-1.31 x 10¹² = 0.0012 a                                   

Calcolo di i₂

La procedura può essere ripetuta per calcolare Yo₂, In questo caso, per calcolare il determinante Δ₂ La seconda colonna del determinante Δ è sostituita dalla colonna dei termini indipendenti e il suo valore viene trovato, secondo la procedura spiegata.

Tuttavia, come è ingombrante a causa di grandi numeri, specialmente se non esiste un calcolatore scientifico, il più semplice è sostituire il valore del Yo₁ Già calcolato, nella seguente equazione e chiara:

-11300 i₁ + 9100.Yo₂ + 0.Yo₃= -18 → 9100 i₂= -18 + 11300 i₁ → i₂ = -0.00048 a

Calcolo i3

Una volta con i valori di Yo₁ E Yo₂ In mano, il Yo₃ Si trova direttamente per sostituzione.

Riferimenti

1. Alexander, c. 2006. Fondazioni di circuiti elettrici. 3 °. Edizione. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, r. 2011. Introduzione all'analisi del circuito.2 °. Edizione. Pearson.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 5. Interazione elettrica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. Garcia, l. 2014. Elettromagnetismo. 2 °. Edizione. Università industriale di Santander.
5. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 2.