Variazione proporzionale

Cos'è la variazione proporzionale?

La variazione proporzionale tra due variabili "x" e "y" avviene quando, moltiplicandone una di esse per una costante, l'altra è anche moltiplicata o divisa per la stessa costante. Molte situazioni del mondo reale possono essere adeguatamente descritte con loro.

La proporzionalità tra le variabili può essere diretta o inversa. In proporzionalità diretta, la relazione è del tipo:

y = k ∙ x

O equivalentemente:

K = y/x

Dove k è una costante chiamata costante di proporzionalità O Rapporto di proporzionalità. Si noti che se "x" aumenta ", lo fa nella stessa proporzione e se" x "diminuisce, sarà anche" y ". Quando la relazione tra le variabili è grafica, si ottiene una linea retta che passa attraverso l'origine del sistema di coordinate (vedere l'esercizio risolto in seguito).

La variazione diretta può verificarsi anche tra una variabile e una potenza dell'altra, ad esempio, "y" può essere direttamente proporzionale a x², X³ e così.

D'altra parte, in proporzionalità inversa, le variabili sono collegate attraverso l'espressione:

x ∙ y = k

Questa espressione significa che il prodotto delle variabili è una costante. Quando si tratta graficamente la relazione tra le variabili è un'iperbole. Inoltre, se il prodotto di una variabile con una potenza dell'altra è costante, rappresenta anche un caso di proporzionalità inversa, ad esempio:

X²∙ y = k; X³∙ y = k ..

Esempi

Un'applicazione della variazione proporzionale è il layout delle mappe

Molte leggi di fisica e chimica sono espresse matematicamente come proporzioni. Ad esempio, la forza che esercita una molla e l'allungamento della stessa, la relazione tra la pressione e il volume in un gas a temperatura costante, il periodo di un semplice pendolo e la radice quadrata della sua lunghezza e molti altri. Conoscendo il modello che governa il fenomeno, puoi scoprire il tuo comportamento per qualsiasi valore delle variabili.

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E non solo, si applicano anche in innumerevoli situazioni come queste:

• Passare il modello di un indumento di dimensioni più piccole a una dimensione più grande (o viceversa).
• Nei fattori di conversione, per passare da un'unità all'altra, come chilometri a miglia, galloni a litri e altro ancora.
• Calcola gli ingredienti di una ricetta per 6 persone che conoscono il requisito per 4 persone.
• Determinare l'importo di determinate imposte in conformità con il reddito ottenuto.
• Nel calcolo del semplice interesse.
• Quando si disegna aerei su scala.
• Quando devi calcolare il prezzo di una quantità di prodotti conoscendo il prezzo unitario.
• Nella somiglianza dei triangoli.

Successivamente, in dettaglio, ci sono due situazioni interessanti in cui si applicano variazioni proporzionali:

Esempio 1

Sulla scala di una città, l'Hermitage Avenue misura 3.2 cm, essendo la sua vera lunghezza di 400 m. D'altra parte, la strada di La Fuente, che misura davvero 180 m deve disegnare con un ictus proporzionalmente più corto. Qual è la dimensione della corsa?

La dichiarazione offre le informazioni complete di Ermita Avenue: Lascia che la lunghezza reale del viale e ℓ la sua lunghezza sul piano, poiché la variazione è di proporzionalità diretta, deve:

L = k ∙ ℓ

Dai dati sulla strada di Hermitage puoi conoscere il valore della costante di proporzionalità K, ma prima che sia necessario lasciare tutte le lunghezze nelle stesse unità:

3.2 cm = 0.032 m

COSÌ:

400 m = k ∙ 0.032 m

Pertanto la costante di proporzionalità è:

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K = 400 /0.032 = 12500

Ora è noto che:

L = 12500 ∙ ℓ

Questo risultato è interpretato come segue: la lunghezza delle strade su questa mappa è 12500 volte più piccola della sua lunghezza reale. Pertanto la linea della strada di La Fuente misure:

ℓ = 180 m/ 12500 = 0.0144 m = 1.44 cm

Esempio 2

Un analista ha la seguente tabella di valori per le variabili "x" e "y" ottenute sperimentalmente e desidera sapere se questi dati si adattano a un modello di variazione proporzionale diretta o una delle variazioni proporzionali inverse.

Cosa dovresti fare per sapere?

In primo luogo si osserva che quando "x" aumenta, "y" diminuisce, quindi sospetta una proporzionalità inversa, in ogni caso, per garantire, l'analista ha la possibilità di valutare se il quoziente e/x sono costanti (proporzionale Variazione diretta) o se prodotto x.ed è costante (variazione proporzionale inversa).

Test con la prima opzione:

1 ÷ 5 = 0.2

½ ÷ 10 = 0.05

⅓ ÷ 15 = 0.022 ..

Si è concluso che non si tratta di una variazione proporzionale diretta, perché il quoziente e/x forniscono valori diversi per ogni paio di dati.

Dobbiamo verificare se il prodotto x ∙ è costante:

5 × 1 = 5

10 × ½ = 5

15 × ⅓ = 5

20 × ¼ = 5

25 × ⅕ = 5

E poiché il prodotto x ∙ y = 5 si conclude che la variazione è di proporzionalità inversa.

Queste informazioni servono a conoscere valori che non sono nella tabella, ad esempio quale sarebbe il valore di "y" quando x = 30?

Da x ∙ y = 5, "y" viene cancellato e sostituito x = 30:

y = 5/x

y = 5/30 = 1/6

Esercizio risolto

Se un misuratore di tessuto costa 6.$ 75 e sapendo che il prezzo è direttamente proporzionale alla quantità di metri da acquistare, trovare:

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a) L'espressione algebrica che collega il "prezzo a $" e "numero di metri di tessuto".

b) Preparare una tabella di valori con i prezzi per 3, 6, 9, 12, 15 e 18 metri di tessuto.

c) grafico i valori ottenuti.

Rispondi a

Lascia "y" il prezzo della variabile "a $" e "x" la quantità variabile "di metri di tessuto". Come sono direttamente proporzionali, devi:

y = k ∙ x

Per x = 1 metro, y = 6.$ 75, quindi k = 6.75 $/metro. Questo è il prezzo unitario del tessuto, il prezzo di qualsiasi altro tessuto "x" è ottenuto moltiplicando per questo valore, quindi, l'espressione algebrica richiesta è:

y = 6.75 ∙ x

Risposta b

La tabella dei valori con i prezzi a $ per 3, 6, 9, 12, 15 e 18 metri è:

Risposta c

Infine, il grafico dei valori nella tabella precedente conferma che è una variazione proporzionale diretta:

Il costo a $ e la quantità di metri di tessuto sono importi proporzionali direttamente. Fonte: f. Zapata.

Si noti che il valore (0,0) è incluso, poiché la linea y = 6.75 ∙ x passa attraverso l'origine del sistema di coordinate, come spiegato in precedenza. Ha senso, poiché non fare un acquisto equivale all'acquisto di 0 m di tessuto, il cui valore è 0 $.

Riferimenti

1. Larson, r. 2012. Pre-scultura. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
2. Segretariato di istruzione pubblica del Messico. La variazione proporzionale. Estratto da: PPS.K12.O.noi.
3. Stewart, J. 2007. Pre-calcolo: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. UNAM. Guide di studio: matematica i. Recuperato da: Dirre.UNAM.MX.
5. Zill, d. 2008. Pre-calcolo con progressi di calcolo. 4 °. Edizione. McGraw Hill.