Proprietà, relazioni e formule di trapecio isosces

UN trapezio isoscele È un quadrilatero in cui due dei lati sono paralleli tra loro e anche i due angoli adiacenti a uno di quei lati paralleli hanno la stessa misura.

Nella Figura 1 hai il quadrilatero ABCD, in cui i lati AD e BC sono paralleli. Inoltre, gli angoli ∠DAB e ∠ADC adiacenti al lato parallelo AD hanno la stessa misura α. 

Figura 1. Isoscele del trapezio. Fonte: f. Zapata.

Pertanto, questo poligono quadrilatero, o quattro sul lato.

In un trapezio, i lati paralleli sono chiamati basi e i non parallelismi sono chiamati laterale. Un'altra caratteristica importante è il altezza, che è la distanza che separa i lati paralleli.

Oltre al trapezoide isoscele ci sono altri tipi di trapezio:

-TRapecio Escaleno, Questo ha tutti i suoi diversi angoli e lati.

-TRettangolo Rapecio, in cui un lato ha angoli adiacenti dritti.

La forma trapezoidale è frequente in varie aree di design, architettura, elettronica, calcolo e molti altri, come si vedrà più avanti. Da qui l'importanza di acquisire familiarità con le sue proprietà.

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Proprietà

Trapezoide di isoscele esclusive

Se un trapezio è isoscele, incontra le seguenti proprietà caratteristiche:

1.- I lati hanno la stessa misura.

2.- Gli angoli adiacenti alle basi sono gli stessi.

3.- Gli angoli opposti sono supplementari.

4.- Le diagonali hanno la stessa lunghezza, lo stesso sono i due segmenti che uniscono i vertici opposti.

5.- L'angolo formato tra le basi e le diagonali sono tutte della stessa misura.

6.- Ha circondato la circonferenza.

Reciprocamente, se un trapezio soddisfa una delle proprietà precedenti, allora è un trapezio isoscele.

Se in un isoscele trapezoide uno degli angoli è dritto (90º), anche tutti gli altri angoli saranno, formando un rettangolo. Cioè, un rettangolo è un caso particolare di trapezio isoscele.

figura 2. Il contenitore delle palomiti di mais e i tavoli scolastici sono a forma di isoscele. Fonte: PxFuel (a sinistra)/McDowell Craig attraverso Flickr. (Giusto)

Per tutto il trapezio

Il seguente set di proprietà è valido per qualsiasi trapezio:

7.- IL mediano del trapezio, questo è il segmento che si unisce ai punti medi dei suoi lati non paralleli, è parallelo a una delle basi.

8.- La lunghezza della mediana è uguale al semi -sottosimum (somma divisa per 2) di quella delle sue basi.

9.- La mediana di un trapezoide taglia le sue diagonali nel punto medio.

10.- Le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto che le dividono in due sezioni proporzionali ai quozienti delle basi.

undici.- La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati più il doppio prodotto delle sue basi.

Può servirti: quanti millesimi si adattano in un decimo?

12.- Il segmento che si unisce ai punti medio -diagonali ha una lunghezza pari alla semiferenza delle basi.

13.- Gli angoli adiacenti ai lati sono supplementari.

14.- Un trapezio ha una circonferenza registrata se e solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.

quindici.- Se un trapezio ha una circonferenza registrata, allora gli angoli con il vertice al centro di detta circonferenza e lati che passano attraverso le estremità dello stesso lato, sono angoli diritti.

Relazioni e formule

La seguente serie di relazioni e formule è indicata alla Figura 3, dove oltre agli isosceli trapezoidi altri segmenti importanti già menzionati, come diagonali, altezza e mezzo.

Figura 3. Mediana, diagonali, altezza e circonferenza circoscritta in un trapezoide isoscele. Fonte: f. Zapata.

Relazioni esclusive degli isosceli trapece

1.- AB = DC = C = D

2.- ∡dab = ∡cda e ∡abc = ∡bcd

3.- ∡dab + ∡bcd = 180º e ∡cda + ∡abc = 180º

4.- Bd = ac

5.- ∡cad = ∡bda = ∡cbd = ∡bca = α₁

6.- A, B, C e D appartengono alla circonferenza circoscritta.

Relazioni per qualsiasi trapezoide

7. Se ak = kb e dl = lc ⇒ kl || AD e KL || AVANTI CRISTO

8.- Kl = (ad + bc)/2

9.- AM = MC = AC/2 e DN = NB = DB/2

10.- Ao/oc = ad/bc y do/ob = ad/bc

undici.- AC² + Db² = AB² + DC² + 2⋅AD⋅BC

12.- Mn = (ad - bc)/2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º e ∡CDA + ∡bcd = 180º

14.- Se ad + bc = ab + dc ⇒ ∃ r quale equidista di AD, BC, AB e DC

quindici.- Se ∃ r quale equidista di AD, BC, AB e DC, allora:

∡bra = ∡DRC = 90º

Isosceles Relazioni trapezoidi con circonferenza registrata

Se in un trapezoide isoscele la somma delle basi è uguale al doppio di un lato, allora c'è la circonferenza registrata.

Figura 4. Trapezio con circonferenza registrata. Fonte: f. Zapata.

Le seguenti proprietà si applicano quando il trapezoide isoscele ha una circonferenza registrata (vedere la Figura 4 sopra):

16.- Kl = AB = dc = (ad + bc)/2

17.- Le diagonali sono tagliate ad angolo retto: AC ⊥ BD

18.- L'altezza è la stessa della mediana: HF = kl, cioè h = m.

19.- Il quadrato dell'altezza è uguale al prodotto delle basi: h² = BC⋅AD

venti.- In queste condizioni specifiche, l'area del trapezio è uguale al quadrato dell'altezza o al prodotto delle basi: area = H² = BC⋅AD.

Formule per determinare un lato, conoscere gli altri e un angolo

Conosciuta una base, il lato e un angolo, l'altra base può essere determinata da:

a = b + 2c cos α

B = a - 2c cos α

Se la lunghezza delle basi è nota come nota e un angolo, allora le lunghezze di entrambi i lati sono:

Può servirti: limite di fermat: ciò che consiste ed esercitazioni risolte

C = (a - b) / (2 cos α)

Determinazione da un lato, conosciuto gli altri e una diagonale

A = (d₁² - C²)/ B;

B = (d₁² - C²)/ A 

C = √ (d₁² - A⋅b)

Dove d₁ È la lunghezza delle diagonali.

Base dall'altezza, dall'area e dall'altra base

a = (2 a)/h - b

b = (2 a)/h - a

Conosciuto le basi, l'area e un angolo

C = (2a) /[(a + b) sin α]

Laterale conosciuta la mediana, l'area e un angolo

C = a / (m.peccato α)

Altezza conosciuta i lati

H = √ [4 c² - (A - b)²"

Altezza conosciuta un angolo e due lati

H = Tg α⋅ (A - B)/2 = C . peccato α

Diagonali conosciuti tutti i lati, o due lati e un angolo

D₁ = √ (c²+ a b)

D₁ = √ (a²+ C² - 2 a c cos α)

D₁ = √ (b² + C²- 2 b c cos β)

Perimetro del triangolo isoscele 

P = a + b + 2c

Isosceles Trapezoid Area

Esistono diverse formule per calcolare l'area, a seconda dei dati noti. Quello che segue è il più noto, a seconda delle basi e dell'altezza:

A = H⋅ (A + B)/2

E anche questi altri possono essere usati:

-Se i lati sono noti

A = [(a +b)/4] √ [4c² - (A - b)²"

-Quando hai due lati e un angolo

A = (b + c cos α) c sen α = (a - c cos α) c sen α

-Se il raggio della circonferenza registrata è noto e un angolo

A = 4 r² / Sin α = 4 r² / Sin β

-Quando sono note le basi e un angolo

A = a⋅b / sin α = a⋅b / sen β 

-Se il trapezio può essere registrato una circonferenza

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b)/2

-Conosciuti le diagonali e l'angolo che si formano tra loro

A = (d₁²/2) sen γ = (d₁² / 2) sen Δ 

-Quando hai il lato, la mediana e un angolo

A = MC.sin α = mc.Sen β

Radio di circonferenza circoscritta

Solo gli isosceli trapezoidi hanno una circonferenza circoscritta. Se è nota la base principale, il lato C e la diagonale D₁, Quindi il raggio R della circonferenza che passa attraverso i quattro vertici del trapezio è:

R = a⋅c⋅d₁ / 4√ [p (p -a) (p -c) (p -d₁)

Dove p = (a + c + d₁) / 2

Esempi di utilizzo del trapezoide isoscele

Il trapezoide isoscele appare nel campo del design, come si vede nella Figura 2. E qui abbiamo alcuni esempi aggiuntivi:

In architettura e costruzione

Gli antichi Incas conoscevano il trapezio degli isosceli e lo usavano come elemento di costruzione in questa finestra di Cuzco, Perù:

Figura 5 . Finestra con una forma trapezoidale di Coricancha, Cuzco. Fonte: Wikimedia Commons.

E qui il trapezoide appare di nuovo nella chiamata Foglio trapezoidale, Un materiale usato frequentemente in costruzione:

Figura 6. Foglio metallico trapezoidale che protegge temporaneamente le finestre di un edificio. Fonte: Wikimedia Commons.

Nel design

Abbiamo già visto che il trapezoide Isosceles appare negli oggetti di tutti i giorni, cibi inclusivi come questa barretta di cioccolato:

Figura 7. Barretta di cioccolato i cui volti sono a forma di isoscele. Fonte: pxfuel.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Un trapezoide di isosceli si basa su 9 cm, base inferiore a 3 cm e le sue diagonali 8 cm ciascuna. Calcolare:

Può servirti: equazione generale della parabola (esempi ed esercizi)

a parte

b) altezza

c) Perimetro

d) ärea

Figura 8. Schema per l'esercizio 1. Fonte: f. Zapata

Soluzione a

Viene disegnata l'altezza cp = h, dove il piede dell'altezza definisce i segmenti:

Pd = x = (a-b)/2 e 

AP = A - X = A - A/2 + B/2 = (A + B)/2.

Attraverso il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DPC:

C² = H² + (A - b)² /4

E anche al triangolo rettangolo APC:

D² = H² + Ap² = H² + (A+B)² /4

Infine, un membro viene sottratto, la seconda equazione del primo e semplifica:

D² - C² = ¼ [(a+b)² - (A-B)²] = ¼ [(a+b+a-b) (a+b-a+b)]

D² - C² = ¼ [2a 2b] = a b

C²= d² - A b ⇒ c = √ (d² - a b) = √ (8² - 9⋅3) = √37 = 6.08 cm

Soluzione b

H² = d² - (A+B)² /4 = 8² - (12² / 2² ) = 8² - 6² = 28

H = 2 √7 = 5,29 cm

Soluzione c

Perimetro = A + B + 2 C = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Soluzione d

Area = H (A+B)/2 = 5.29 (12)/2 = 31,74 cm

- Esercizio 2

C'è un trapezoide isoscele la cui base più grande è il doppio del minore e la sua base più piccola è uguale all'altezza, che è 6 cm. Determinare:

a) il lato del lato

b) perimetro

c) Area

d) angoli

Figura 8. Schema per l'esercizio 2. Fonte: f. Zapata

Soluzione a

Dati: a = 12, b = a/2 = 6 e h = b = 6

Procediamo in questo modo: l'altezza H è disegnata e il teorema di Pitagora viene applicato al triangolo ipotenusa "C" e Catetos H e X:

C² = H²+Xc²

Quindi devi calcolare il valore di altezza dai dati (h = b) e la cateto x: 

A = B + 2 X ⇒ X = (A-B)/2

Sostituire le espressioni precedenti che hai:

C² = b²+(A-B)²/2²

Ora vengono introdotti e semplificati i valori numerici:

C² = 62+ (12-6) 2/4

C² = 62 (1+¼) = 62 (5/4)

Ottenere:

C = 3√5 = 6,71 cm

Soluzione b

Il perimetro p = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Soluzione c

L'area in base all'altezza e alla lunghezza delle basi è:

A = H⋅ (A + B)/2 = 6⋅ (12 + 6)/2 = 54 cm²

Soluzione d

L'angolo α che forma il lato con la base principale è ottenuto dalla trigonometria:

Tan (α) = H / x = 6/3 = 2

α = arctan (2) = 63,44º

L'altro angolo, che forma il lato con la base minore è β, che è supplementare di α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Riferimenti

1. E. A. 2003. Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, f. 2014. Matematica 2. Gruppo editoriale di Patria.
3. Liberato, k. 2007. Scopri i poligoni. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. 2013. Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. Iger. Matematica Primo semestre Tacaná. Iger.
6. Jr. Geometria. 2014. Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. 2006. Matematica: ragionamento e applicazioni. 10 °.  Edizione. Pearson Education.
8. Patiño, m. 2006. Matematica 5. PROGRESO EDITORIALE.
9. Wikipedia. Trapezio. Recuperato da: è.Wikipedia.com