Trasformata di laplace

Qual è la trasformazione di Laplace?

IL Trasformata di laplace Negli ultimi anni è stato di grande importanza in ingegneria, matematica, fisica, tra le altre aree scientifiche, poiché oltre ad essere di grande interesse per il teorico, fornisce un modo semplice per risolvere le equazioni differenziali, trasformandole in equazioni algebriche.

Originariamente la trasformata di Laplace fu presentata da Pierre-Simon Laplace (1745-1827) nel suo studio sulla teoria della probabilità, e in linea di principio fu trattato come un oggetto matematico di interesse semplicemente teorico.

Le attuali applicazioni sorgono quando vari matematici hanno cercato di fornire una giustificazione formale alle "regole operative" utilizzate da Oliver Heaviside (1850-1925) nello studio delle equazioni della teoria elettromagnetica.

Definizione della trasformazione di Laplace

Sia F una funzione definita per t ≥ 0. La trasformazione di Laplace è definita come segue:

Si dice che la trasformazione di Laplace esista se le precedenti convergenti integrali, altrimenti si dice che la trasformazione di Laplace non esista.

In generale, per indicare la funzione che si desidera trasformare minuscole lettere e la lettera di capitale corrisponde alla sua trasformazione. In questo modo avremo:

Esempi

Considera la funzione costante f (t) = 1. Dobbiamo trasformare:

A condizione che l'integrale converge, cioè a condizione che s> 0. Altrimenti, s < 0, la integral diverge.

Sia G (t) = T. La sua trasformazione di Laplace è data da:

Quando si integra per parti e lo saprai^-St Tende a 0 quando T tende a infinito e s> 0, insieme all'esempio precedente che dobbiamo:

Il trasformatore può o non può esistere, ad esempio per la funzione f (t) = 1/t, l'integrale che definisce la sua trasformazione di Laplace non converge e quindi la sua trasformata non esiste.

Le condizioni sufficienti per garantire che esista la trasformazione di Laplace di una funzione F, è che F è continua in parti per T ≥ 0 ed è di ordine esponenziale.

Si dice che una funzione sia continua in parti per t ≥ 0, quando per qualsiasi intervallo [a, b] con a> 0, c'è un numero finito di punti t_K, Dove f ha discontinuità ed è continuo in ogni sottointervallo [t_K-1,T_K".

D'altra parte, si dice che una funzione esponenziale c Se ci sono costanti reali m> 0, c e t> 0 tale che:

Come esempi dobbiamo f (t) = t² È esponenziale, poiché | t²| < e^3t Per tutto t> 0.

Formalmente abbiamo il seguente teorema:

Teorema (condizioni sufficienti per l'esistenza)

Se F è una funzione continua per t> 0 e esponenziale C, allora c'è la trasformazione di Laplace per S> C.

È importante sottolineare che questa è una condizione di sufficienza, cioè che ci sia un caso in cui esiste una funzione che non soddisfa queste condizioni e tuttavia la sua trasformata di Laplace esiste.

Un esempio di questo è la funzione f (t) = t^-1/2 che non è continuo in parti per t ≥ 0 ma la sua trasformazione di Laplace esiste.

Laplace trasforma di alcune funzioni di base

La tabella seguente mostra le trasformazioni di Laplace delle funzioni più comuni.

Può servirti: numeri interi

Storia della trasformazione di Laplace

La trasformata di Laplace deve il suo nome a Pierre-Simon Laplace, matematico e astronomo e teorico francese che nacque nel 1749 e morì nel 1827. La sua fama era tale che era conosciuto come il Newton in Francia.

Nel 1744, Leonard Euler (1707-1783) ha dedicato i suoi studi agli integrali con la forma

Come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, ma hanno rapidamente abbandonato questa ricerca. Più tardi, Joseph Louis LaGrange (1736-1813), che ammirava molto Euler, ha anche studiato questo tipo di integrale e li ha collegati alla teoria della probabilità.

1782, Laplace

Nel 1782 Laplace iniziò a studiare questi integrali come soluzioni alle equazioni differenziali e, secondo gli storici, nel 1785 decise di riformulare il problema, che successivamente diede alla luce le trasformazioni di Laplace come sono comprese oggi.

Essendo stato introdotto nel campo della teoria della probabilità, era di scarso interesse per gli scienziati del momento ed era visto solo come un oggetto matematico solo di interesse teorico.

Heaviside Oliver

Fu a metà del nord secolo quando l'ingegnere inglese Oliver Heaviside scoprì che gli operatori differenziali possono essere trattati come variabili algebriche, dando così la loro moderna applicazione alle trasformazioni di Laplace.

Oliver Heaviside era un fisico, ingegnere elettrico e matematico inglese che nacque nel 1850 a Londra e morì nel 1925. Mentre cercava di risolvere i problemi delle equazioni differenziali applicate alla teoria delle vibrazioni e usando gli studi di Laplace, ha iniziato a modellare le moderne applicazioni delle trasformazioni di Lapla.

I risultati esposti dalla pesante si diffondono rapidamente.

Tuttavia, l'utilità del lavoro di Heaviside durante la risoluzione delle equazioni di fisica ha causato i loro metodi popolari tra fisici e ingegneri.

Nonostante queste battute d'arresto e dopo alcuni decenni di tentativi falliti, all'inizio del 20 ° secolo potrebbe essere data una rigorosa giustificazione alle regole operative stabilite dal pesante.

Questi tentativi hanno dato i suoi frutti grazie agli sforzi di vari matematici, come Bromwich, Carson, Van der Pol, tra gli altri.

Laplace Transform Properties

Tra le proprietà della trasformazione di Laplace, si spengono: si distinguono:

Linearità

Lascia che C1 e C2 costante e f (t) e g (t) le cui trasformazioni di laplace sono rispettivamente f (s) e g (s), quindi deve:

A causa di questa proprietà si dice che la trasformazione di Laplace è un operatore lineare.

Esempio:

Primo teorema della traduzione

Se succede che:

E 'a' è un numero reale, quindi:

Esempio:

Come trasformazione Laplace de cos (2t) = s/(s^2 + 4):

Secondo teorema della traduzione

Sì

COSÌ

Esempio:

If f (t) = t^3, allora f (s) = 6/s^4. E quindi, la trasformazione di 

è g (s) = 6e^-2s/s^4

Cambio di scala

Sì

E 'a' è davvero diverso da zero, dobbiamo

Esempio:

Come la trasformazione di f (t) = sen (t) è f (s) = 1/(s^2 + 1)

Può servirti: notazione sviluppata: cosa è, esempi ed esercizi

Laplace trasformata da derivati

Se f, f ', f ", ..., f^(N) Sono continui per t ≥ 0 e sono esponenziali e f^(N)(t) è continuo in parti per t ≥ 0, quindi

Trasformazione integrale Laplace

Sì

COSÌ

Moltiplicazione per t^N

Se dobbiamo

COSÌ

Divisione di t

Se dobbiamo

COSÌ

Funzioni periodiche

Sia f una funzione periodica con periodo t> 0, cioè f (t +t) = f (t), quindi

Comportamento di f (s) quando s tende all'infinito

Se F è continuo in parti e di ordine esponenziale e

COSÌ

Trasformato inverso

Quando applichiamo la trasformazione di Laplace a una funzione f (t) otteniamo f (s), che rappresenta detto trasformazione. Allo stesso modo possiamo dire che f (t) è la trasformazione della laplace inversa di F (s) ed è scritta come

Sappiamo che le trasformazioni di Laplace di f (t) = 1 e g (t) = t sono f (s) = 1/s e g (s) = 1/s² rispettivamente, quindi dobbiamo

Alcuni laplace comuni trasformati sono i seguenti

Inoltre, la trasformata inversa Laplace è lineare, cioè è soddisfatta

Esercizio

Trovare

Per risolvere questo esercizio dobbiamo abbinare la funzione F (s) con alcune delle tabelle precedenti. In questo caso, se prendiamo N + 1 = 5 e usando la proprietà di linearità della trasformazione inversa, ci si moltiplichiamo per 4! Ottenere

Per la seconda trasformazione inversa applichiamo frazioni parziali per riscrivere la funzione F (s) e quindi la proprietà della linearità, ottenendo

Come possiamo vedere da questi esempi, è comune che la funzione F (s) che viene valutata non corrisponda esattamente a nessuna delle funzioni indicate nella tabella. Per questi casi, come osservato, è sufficiente riscrivere la funzione fino a raggiungere la forma corretta.

Applicazioni di trasformazione di Laplace

Equazioni differenziali

L'applicazione principale che Laplace trasforma è di risolvere equazioni differenziali.

Usando la proprietà della trasformazione di un derivato è chiaro che

E dell'N-1 derivato valutato a t = 0.

Questa proprietà fa trasformare.

I seguenti esempi mostrano come utilizzare la trasformazione di Laplace per risolvere le equazioni differenziali.

Esempio 1

Dato il seguente problema di valore iniziale

Usa la trasformazione di Laplace per trovare la soluzione.

Applichiamo la trasformazione di Laplace a ciascun membro dell'equazione differenziale

Per la proprietà della trasformazione di un derivato che abbiamo

Quando sviluppiamo tutta l'espressione e la compensazione e lo (i) abbiamo

Usando frazioni parziali per riscrivere il lato destro dell'equazione otteniamo

Infine, il nostro obiettivo è trovare una funzione e (t) che soddisfi l'equazione differenziale. Usando la trasformazione inversa Laplace esso si traduce

Esempio 2

Risolvere

Come nel caso precedente, applichiamo il trasformato su entrambi i lati dell'equazione e il termine separato.

In questo modo abbiamo di conseguenza

Sostituire con i valori iniziali dati e cancellatura e (i)

Usando frazioni semplici possiamo riscrivere come segue l'equazione

E applicare la trasformazione inversa di Laplace ci dà di conseguenza

In questi esempi si potrebbe raggiungere la conclusione errata che questo metodo non è molto meglio dei metodi tradizionali per risolvere le equazioni differenziali.

Può servirti: proporzione

I vantaggi offerti dalla trasformazione di Laplace è che non è necessario.

Inoltre, quando si risolvono i problemi di valore iniziale con questo metodo, dall'inizio utilizziamo le condizioni iniziali, quindi non è necessario eseguire altri calcoli per trovare la soluzione particolare.

Sistemi di equazioni differenziali

La trasformazione di Laplace può anche essere utilizzata per trovare soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie simultanee, come mostrato nell'esempio seguente.

Esempio

Risolvere

Con le condizioni iniziali x (0) = 8 e y (0) = 3.

Se dobbiamo

COSÌ

La risoluzione ci dà di conseguenza

E quando appliciamo la trasformazione inversa di Laplace che abbiamo

Meccanici e circuiti elettrici

La trasformazione di Laplace è di grande importanza nella fisica, ha principalmente applicazioni per la meccanica e i circuiti elettrici.

Un semplice circuito elettrico è composto dai seguenti elementi:

Elementi di un circuito elettrico

Un interruttore, una batteria o una fonte, un induttore, una resistenza e un condensatore. Quando l'interruttore è chiuso una corrente elettrica che è indicata da I (T). Il carico del condensatore è indicato da Q (T).

Dalla seconda legge di Kirchhoff, la tensione prodotta dal Fuente e al circuito chiuso deve essere uguale alla somma di ciascuna delle cadute della tensione.

La corrente elettrica i (t) è correlata al carico Q (t) nel condensatore tramite i = dq/dt. D'altra parte, la caduta di tensione in ciascuno degli elementi è definita come segue:

La caduta di tensione in una resistenza è IR = R (DQ/DT)

La caduta di tensione in un induttore è l (di/dt) = L (d²Q/dt²)

La caduta di tensione in un condensatore è Q/C

Con questi dati e applicando la seconda legge di Kirchhoff al semplice circuito semplice, si ottiene un'equazione differenziale di secondo ordine che descrive il sistema e ci consente di determinare il valore di Q (t).

Esempio

Un induttore, un condensatore e una resistenza sono collegati a una batteria E, come mostrato nella figura. L'induttore è 2 Henries, il condensatore di 0,02 Farads e la resistenza di 16 onhmios. Al momento t = 0 chiude il circuito. Trova il carico e la corrente in qualsiasi momento t> 0 se e = 300 volt.

Abbiamo che l'equazione differenziale che descrive questo circuito è la seguente:

Dove le condizioni iniziali sono q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Applicando la trasformazione di Laplace, lo otteniamo

E cancellare Q (T)

Quindi, applicando la trasformata inversa Laplace che abbiamo

Riferimenti

1. G.Holbrook, j. (1987). Laplace trasforma per gli ingegneri elettronici. Limusa.
2. Ruiz, l. M., & Hernandez, M. P. (2006). Equazioni differenziali e trasformate di Laplace con applicazioni. Editoriale UPV.
3. Simmons, g. F. (1993). Equazioni differenziali con applicazioni storiche e note. McGraw-Hill.
4. Spiegel, m. R. (1991). Laplace trasformato. McGraw-Hill.
5. Zill, d. G., & Cullen, M. R. (2008). Equazioni differenziali con valori di titoli al confine. Editor di apprendimento di Cengage, s.A.