Tipi di funzioni e loro grafici

Ci sono diversi Tipi di funzioni che sono usati per modellare i problemi nelle filiali di conoscenza come scienze naturali, amministrazione, economia e scienze sociali. Matematicamente parlando, una funzione è una relazione tra due o più variabili.

Molte volte alcuni oggetti o quantità sono correlati tra loro. Questi importi sono rappresentati da variabili. Ad esempio, ci sono due variabili correlate, appartenenti a due set A e B, non necessariamente numerici, sebbene la maggior parte delle volte lo siano-.

Per essere considerata una funzione, questa relazione deve soddisfare due condizioni: la prima è che tutti gli elementi del set iniziale partecipa e il secondo, che ogni elemento di detto set è correlato a solo uno degli elementi B.

Le variabili vengono generalmente chiamate con lettere X E E, con X come il variabile indipendente E E come il variabile dipendente. Naturalmente, possono essere chiamati in qualsiasi altro modo, scegliendo il nome della variabile in conformità con la grandezza che rappresenta.

La relazione tra i due è indicata attraverso la lettera F -o un'altra lettera dell'alfabeto, ed è rappresentata in diversi modi, come un insieme di coppie ordinate, un grafico, un'espressione verbale o una formula algebrica:

• f (x) = x + 1
• Popolazione p di una certa città in un certo intervallo di tempo t.
• H (x) = (1,3); (2,4); (3,5); (4.6)

Le funzioni sono caratterizzate dall'avere dominio E gamma o percorso. Il dominio è l'insieme di valori che la variabile X Puoi prendere, mentre l'intervallo è l'insieme di valori che acquisiscono la funzione o la variabile dipendenti e.

Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono essere raggruppate in 5 grandi categorie, come riflesso nel seguente schema, in cui ciascun gruppo è etichettato con un numero romano e un colore. A partire da sinistra a destra, le funzioni sono classificate secondo:

• I) la sua forma.
• Ii) simmetria.
• Iii) il modo per esprimere la variabile.
• Iv) la sua continuità e monotonia.
• V) il modo in cui gli elementi del dominio sono correlati a quelli dell'intervallo.

Principali criteri di classificazione per le funzioni. Fonte: f. Zapata.

Ora segui una breve descrizione di ciascuno dei tipi di funzioni con i rispettivi esempi.

I) funzioni in base alla sua forma

Yo.1) Funzioni algebriche

Sono tra le funzioni più utilizzate in numerosi campi della scienza, e quindi sono i più noti. Sono caratterizzati dall'avere come regola di corrispondenza, un'espressione algebrica.

A loro volta, le funzioni algebriche sono suddivise nei seguenti tipi:

• Yo.1.a) polinomio o polinomio.
• Yo.1.b) razionale.
• Yo.1.c) irrazionale.
• Yo.1.d) per sezioni.

Funzioni algebriche e loro tipi. Fonte: f. Zapata.

Yo.1.a) funzioni polinomiali o polinomiali

Esempio di funzione di tipo polinomiale. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Sono costituiti da somme di termini la cui forma generale è:

P (x) = a_NX^N + A _N-1X^N-1 +… A₁x + a₀

Dove i coefficienti_N, A _N-1… A₁, A₀ Sono numeri reali e n è un numero intero. Il dominio delle funzioni polinomiali è l'insieme r di numeri reali e sono anche funzioni continue in quel dominio.

Nella figura superiore è il grafico della seguente funzione polinomiale dell'ordine 4:

f (x) = x⁴ - 2x² - x -2

Tra le funzioni polinomiali, alcuni casi particolari si distinguono, in base ai valori dei coefficienti. Vale la pena considerare attentamente, perché sono molto utili in più situazioni:

i) Funzione costante

Esiste una funzione costante quando tutti i coefficienti vengono annullati, tranne₀:

f (x) = a₀ = k

Il grafico della funzione costante è una linea retta parallela all'asse orizzontale, come le linee:

• f (x) = 2
• g (x) = π
• H (x) = -3/2

Due esempi di funzione costante. Fonte: f. Zapata.

Ii) Funzione di primo grado

La funzione di primo grado o la funzione correlata è che il cui grafico è una linea retta. È un caso particolare della funzione polinomiale in cui tutti i coefficienti di annul₁ Già₀. Esso è dato da:

f (x) = a₁x + a₀

Il valore a₁ È la pendenza della linea, che dà una misura della sua inclinazione e₀ È il taglio della linea con l'asse verticale. Entrambi possono assumere valori positivi o negativi.

Esempi di funzione di primo grado sono i seguenti:

• G (x) = 2x -1
• H (x) = -6x +5/2

Funzione di primo grado f (x) = 2x-1. Fonte: f. Zapata.

C'è un caso speciale, che è la funzione lineare.

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iii) Funzione lineare

Quando il coefficiente di₀ È 0, la funzione passa sempre attraverso l'origine ed è espressa da f (x) = a₁X, chiamata Funzione lineare, Come stai:

• f (x) = 5x
• G (x) = -7x

Funzione lineare f (x) = 5x. Fonte: f. Zapata.

iv) Funzione di identità

È un caso particolare della funzione lineare, in cui₁ = 1:

f (x) = x

La funzione di identità. Fonte: f. Zapata.

v) funzione quadratica

Ha la forma generale:

f (x) = a₂X² +A₁x + a₀

Con un₂  ≠ 0.

Il suo grafico è una parabola il cui asse assiale o simmetria è parallelo all'asse degli ordinati. Interseca sempre l'asse verticale nel punto di coordinata x = 0, y = a₀. Per quanto riguarda gli incroci con l'asse orizzontale, può avere fino a un massimo di 2.

Esempi di funzioni quadratiche sono:

• f (x) = x² - 3x - 4
• G (x) = 4x²
• H (x) = x²-1

La funzione quadratica. Fonte: Wikimedia Commons.

vi) funzione cubica

Come suggerisce il nome, la funzione cubica contiene una potenza di 3:

f (x) = a₃X³ + A₂X² + A₁x + a₀

Il coefficiente a₃ È sempre diverso da 0, come in questi casi:

• f (x) = x³
• G (x) = 5x³ - 2
• H (x) = -3x³ + 4x² + 10x + 1

Funzione cubica. Fonte: f. Zapata.

Yo.1.b) funzioni razionali

Le funzioni razionali hanno la forma:

 Dove p (x) e q (x) sono polinomi irriducibili, cioè non hanno un fattore comune e in ogni caso Q (x) ≠ 0.

Dal dominio delle funzioni razionali, tutti i valori che annullano il denominatore Q (x), cioè le sue radici, mentre i valori dei valori dei valori di E che determinano gli asintoti orizzontali.

Un asintoto è una linea a cui si avvicina la funzione, sia a sinistra che a destra, sopra o sotto, ma non attraversa mai. Tali linee possono essere verticali, orizzontali o inclini.

Esempi di funzioni razionali sono:

Funzione razionale. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

i) Hyperbola

Il grafico di una funzione razionale è un'iperbole quando il polinomio nel denominatore Q (x) ha il grado 1. Il grafico delle funzioni f (x) e g (x) degli esempi sopra riportati sono iperboli, può essere facilmente controllato attraverso un software grafico online gratuito, come la geogebra.

La funzione y = 1/x. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Ii) funzione di proporzionalità inversa

È una funzione della forma:

Dove c è un numero reale diverso da 0. Il suo dominio è l'insieme di numeri reali tranne 0.

Yo.1.c) funzioni irrazionali

Sono quelli la cui variabile indipendente è sotto un segno radicale. La sua forma generale è:

Alcune di queste funzioni possono essere:

• 
• 

Il dominio di queste funzioni è determinato come segue:

-Se le radici sono di indice di coppia, l'importo subradicle F (x) deve essere sempre 0 o positivo.

-Quando le radici sono dispari, f (x) può essere positivo o negativo. Pertanto in questo caso il dominio della funzione sono i numeri reali.

Ad esempio, il dominio di:

È l'insieme di numeri reali in modo tale che X-3 sia maggiore o uguale a 0. In questo caso, x deve essere maggiore o uguale a 3. Pertanto il dominio di questa funzione è l'insieme di valori dell'intervallo [3, ∞+).

 Esempio di funzione irrazionale. Fonte: f. Zapata.

Yo.1.d) funzioni a pezzi o per sezioni

La funzione in parti, per sezioni o pezzi è quella che richiede più di una formula per diversi valori di dominio. Ecco alcuni esempi della tua applicazione:

-Tariffe per l'invio di pacchetti per posta, a seconda del peso o del volume, dell'origine e della destinazione dello stesso.

-Tariffe per i servizi, ad esempio telefonia ed elettricità.

-Vendita di biglietti per musei o parchi di divertimento, a seconda dell'età.

In forma matematica, una funzione in parti può essere, ad esempio:

Il dominio di una funzione in parti dipende dalla sua definizione. Nell'esempio precedente, il dominio è l'insieme formato da: (-∞, -1) ∪ [1,+∞).

La funzione del valore assoluto. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Ii) Funzione Escalonada

Il grafico di questa funzione per sezioni è costituito da passaggi, come quelli di una scala o può essere di diverse altezze, a seconda del modo in cui la funzione è definita.

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Per questo, viene scelto un intervallo finito [a, b] che contiene un certo numero finito di discontinuità, chiamato x_Yo < x₁ < x₂ <… . x_N  E viene scelto un intervallo aperto (x_Yo , X_I+1) Per dargli una costante di valore s_Yo, Con i salti in punti x_Yo. Il valore di s_Yo È l'altezza del passo in questione.

Un esempio di funzione sfalsata è l'intera parte, che prende qualsiasi numero e lo associa al seguente intero, sia in eccesso che per impostazione predefinita. Quella che segue è un'intera parte:

[x] = (maggiore intero ≤ x)

Secondo questa funzione, l'intera parte di 2.5 è:

[2.5] = (intero maggiore ≤ 2.5) = 2

L'intera parte di. Fonte: Larson, R. Calcolo con geometria analitica. McGraw-Hill.

Yo.2) funzioni trascendenti

Le funzioni non algebriche sono chiamate trascendenti. Le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche sono funzioni trascendenti.

In essi la variabile X Fa parte dell'argomento della funzione o come parte dell'esponente o dell'indice di qualche radice, ad esempio:

• f (x) = log (x+1)
• H (x) = -0.2⋅8^-3x

Le funzioni trascendenti hanno molte applicazioni, ad esempio nello studio di vibrazioni e onde, distribuzioni di probabilità, modellizzazione delle onde, crescita di diverse popolazioni, decadimento radioattivo, tassi di interesse e molti altri. 

Principali funzioni trascendenti. Fonte: f. Zapata.

Yo.2.a) funzione esponenziale 

La funzione esponenziale è definita da:

f (x) = a^X

Dove a è la base, che è sempre un numero positivo di 1 e la variabile, un numero reale, appare nell'esponente. In generale, la funzione esponenziale è scritta:

f (x) = a⋅a^BX

Qui a e b sono coefficienti reali. Le seguenti sono funzioni di questo tipo:

• f (x) = 5e^X
• H (x) = 4. 10^5x
• g (t) = 8e^-2T

Base E, Dove E È il numero di Euler 2.71828 ..., appare spesso in problemi di scienza e ingegneria, nonché statistiche. Quando la funzione ha questa base viene chiamata Funzione esponenziale naturale.

Il dominio della funzione esponenziale è l'insieme di numeri reali, mentre l'intervallo è i numeri positivi.

Funzione esponenziale basata su. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Yo.2.b) funzione logaritmo

Da parte sua, la funzione logaritmo basata su A È la funzione inversa della funzione esponenziale basata su A. Sì:

tronco d'albero_A X = Y

COSÌ:

x = a^E

In particolare, se la base del logaritmo è numero E, la funzione viene chiamata Funzione del logaritmo neperiano Ed è indicato come ln. Le funzioni di questo tipo sono:

• f (x) = ln x
• g (x) = log (x+1)
• H (t) = 1 - log x²

Il dominio della funzione del logaritmo, indipendentemente dalla base, sono i numeri reali positivi, esclusi lo 0. Cioè, non ci sono logaritmi di numeri negativi o 0.

Tuttavia, un logaritmo può essere 0 o negativo: il logaritmo del numero tra 0 e 1 è negativo e per la sua parte raggiunge_A 1 = 0.

Grafico delle funzioni del logaritmo in diverse basi: base 2 in rosso, verde E, blu -base e turchese sulla base 0.5. Fonte: Wikimedia Commons.

Yo.2.c) funzioni trigonometriche

Sono quelli che provengono dalle ragioni trigonometriche: seno, coseno, tangenti, asciugatura, armonizzazione e cotantico di un angolo x. Sono indicati rispettivamente come:

Sen x, cos x, tg x, sec x, danno x e cotg x

Sono funzioni periodiche, il che significa che la sua forma è ripetitiva, quindi sono molto utili per descrivere fenomeni naturali come segnali, oscillazioni, movimento circolare e movimenti di oscillazione, che sono caratterizzati dall'essere ripetitivi.

Esempi di funzioni trigonometriche sono:

• f (x) = sin x
• G (t) = 5⋅cos (ωt + π)
• H (x) = tg (x/2)

La variabile X è espressa in radianti.

Grafico delle funzioni sen x e cos x, si noti che sono identici, tranne per il fatto che uno è spostato rispetto all'altro. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

La padronanza delle funzioni Sen X e Cos X, è l'insieme di numeri reali. Per le funzioni rimanenti ci sono valori X per i quali la funzione non è definita:

-La funzione TG X non esiste quando x = ± π /2, ± 5π /2 ... questo è, tutti i multipli dispari di π /2.

Grafico della funzione tangente. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

-Per quanto riguarda f (x) = cotg x, questa funzione non è definita per tutti i multipli di π: ± π, ± 2π, ± 3π ..

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-La funzione y = sec x non è valida quando cos x = 0, che esclude x = ± π /2, ± 5π /2 ... del suo dominio.

-Infine, per f (x) = danno x, gli interi multipli di π non appartengono al loro dominio.

Yo.2.d) funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono combinazioni speciali di esponenziali e^X e e^-X E sono chiamati come un seno, coseno .. .iperbolico. Come per le funzioni trigonometriche, chiamate anche "circolari", ci sono 6 funzioni iperboliche:

-Seno iperbolico Senh x:

La funzione del seno iperbolico. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

-Coseno iperbolico Cosh x:

 -Tangente iperbolica tanh x:

 -Mietitore iperbolico CSCH X:

 -Secant iperbolico Sech X:

-Cotangent iperbolico Coth x:

Un cavo flessibile, realizzato in uniforme e materiale sospeso tra due punti, prende la forma di una curva chiamata Catenario, che è espresso come coseno iperbolico:

Yo.2.e) funzioni trigonometriche inverse

Corrispondono all'inverso delle funzioni trigonometriche. Ad esempio, quale sarebbe l'angolo (arco) il cui seno vale 0.5?

La risposta è arc sen 0.5, che recita “Sinus ad arco di 0.5 ", e questo angolo è 30º, sebbene in linea di principio non sarebbe l'unico angolo il cui seno vale 0.5, poiché la funzione Sen X è periodica. Quello che succede è che se la funzione Sen X viene presa in tutto il suo dominio, non avrebbe inverso, quindi la funzione Arcoseno non potrebbe essere definita. Il problema è risolto limitando tutto agli angoli tra -π/2 e +π/2.

Questo può essere espresso come segue:

Se arc sen x = θ, significa che sin θ = x

Con -π/2 ≤ θ ≤ π/2.

Un'altra notazione usata per l'arco sen x è f (x) = sin^-1 X. Il grafico è mostrato di seguito:

Arcsen X Function Graphics. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

È anche possibile definire inverso per le altre funzioni trigonometriche, ad esempio: Arc cos x = θ e quindi. Per ognuno il rango è limitato correttamente, per essere l'inverso della corrispondente funzione trigonometrica.

Ii) funzioni in base alla sua simmetria

Ii.1) par

Se per tutti x appartenenti al dominio di f (x) è soddisfatto:

f (x) = f (-x)

Si dice che la funzione sia uniforme, come quelli che seguono:

• f (x) = x² - 3
• g (x) = cos x
• 

  Esempio di una funzione di coppia. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Ad esempio, fare x = 1 in f (x) = x² - 3 è ottenuto:

f (1) = 1² - 3 = -2.

E se x = -1, allora:

f (-1) = (-1)² - 3 = -2.

Entrambi i risultati sono identici.

Le funzioni pari hanno una simmetria attorno all'asse verticale, come si può vedere nella figura precedente.

Ii.2) Funzione dispari

D'altra parte, sì:

f (-x) = -f (x)

La funzione è strana.

Una funzione strana. Fonte: Wikimedia Commons.

Ad esempio, la funzione f (x) = 1/x della figura superiore è dispari, poiché:

f (-x) = -1/x

E

-f (x) = -1/x

Un'altra importante funzione impar è f (x) = sin x.

Si noti che le funzioni dispari hanno una simmetria di rotazione di 180º attorno all'origine (il grafico non viene modificato se ogni punto di esso viene trasformato in 180º rispetto all'origine delle coordinate).

Iii) funzionare secondo l'espressione della variabile

Iii.1) Funzioni esplicite

Sono espressi direttamente in termini di variabile dipendente come y = f (x). Per esempio:

• f (x) = x³

Iii.2) funzioni implicite

Nelle funzioni implicite, nessuna delle variabili appare chiara. Sono espressi come f (x, y) = 0, come:

• X² + E² -3xy = 0
• xy = - x²+ X-5

Le funzioni descritte in questo articolo sono funzioni esplicite.

Iv) funzioni in base alla tua grafica

Secondo il loro grafico, le funzioni possono essere continue o discontinue. Le funzioni continue possono essere rintracciate senza interrompere la corsa, d'altra parte, le funzioni discontinue presentano salti. Nella seguente immagine, la funzione è discontinua a x = a:

Funzione di discontinuità su x = a. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempi di funzioni continue sono la funzione lineare, la funzione quadratica e le funzioni seno e coseno. E tra le funzioni discontinue ci sono la funzione sfalsata e la funzione tangente.

V) funzioni in base alla relazione tra gli elementi del dominio e l'intervallo

V.1) Funzione iniettiva

Una funzione è Iniettivo Quando non ci sono due elementi diversi nel set di avvio o dominio, che hanno la stessa immagine nel set di arrivo.

Supponiamo che le funzioni reali abbiano, se non diversamente specificato, ad esempio:

f (x) = 5x -2

Tutto il valore x appartenente al dominio di f (x), che è il set ℛ dei numeri reali, ha un'immagine unica, anche reale. D'altra parte, in questa altra funzione:

g (x) = x²

Esistono diversi elementi nel dominio che hanno la stessa immagine, ad esempio x₁= 2 e x₂= -2:

G (2) = G (-2) = 4.

Il modo per identificare una funzione iniettiva dal suo grafico è disegnare una linea orizzontale, se viene tagliata alla curva in più di un punto, la funzione non è iniettativa.

A sinistra una funzione iniettiva delle Nazioni Unite, si noti che ci sono diversi punti del grafico con la stessa coordinata verticale. A destra una funzione iniettiva, in ciascuno dei punti della curva ha una particolare coordinata "y". Fonte: f. Zapata.

V.2) Funzione eccessiva

Nel funzioni di proiezione, Tutti gli elementi del set di arrivo sono l'immagine di alcuni elementi del set di avvio. Un esempio di funzione eccessiva è la stessa f (x) = 5x -2, ma g (x) = x² Non lo è, poiché i valori presi G (x) sono solo quelli reali positivi e lo 0.

Tuttavia, il dominio potrebbe essere ridefinito in modo che G (x) fosse un eccessivo, se ad esempio cambia in tutti quelli reali positivi più 0. 

V.3) Funzione bijective

Infine, viene chiamata una funzione che è iniettiva e eccessiva Bijective. Esempi di funzioni di biiezione sono: la funzione correlata, la funzione esponenziale e la funzione del logaritmo.

La funzione correlata è un buon esempio di funzione bijective. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Riferimenti

1. Zona elettronica. Tipi di funzioni. Recuperato da: Emathzone.com.
2. Hoffman, J.G. Selezione di problemi di matematica. Ed. Sphinx.
3. La matematica è divertente. Commons Funzioni di riferimento. Recuperato da: Mathisfun.com.
4. Requena, b. Formule universe. Tipi di funzioni. Recuperato da: Universoformulas.com.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.