Teorema binomiale

Qual è il teorema binomiale?

Lui Teorema binomiale È un'equazione che ci dice come si sviluppa un'espressione della forma (A+B)^N Per un numero naturale n. Un binomiale non è altro che la somma di due elementi, come (A+B). Ci consente anche di sapere per un termine dato da^KB^N-k Qual è il coefficiente che lo accompagna.

Questo teorema è comunemente attribuito all'inventore inglese, fisico e matematico Sir Isaac Newton; Tuttavia, sono stati trovati vari record che indicano che la sua esistenza era già nota in Medio Oriente, intorno all'anno 1000.

Numeri combinatori

Il teorema binomiale ci dice matematicamente quanto segue:

In questa espressione a e b sono numeri reali e n è un numero naturale.

Prima di dare la dimostrazione, vediamo alcuni concetti di base necessari.

Il numero combinatorio o le combinazioni di N in k sono espressi come segue:

Ciò esprime il valore di quanti sottoinsieme con elementi k possono essere scelti da un insieme di N elementi. La sua espressione algebrica è data da:

Diamo un'occhiata a un esempio: supponiamo che abbiamo un gruppo di sette palle, di cui due sono rosse e il resto è blu.

Vogliamo sapere quanti modi possiamo ordinarli di seguito. Un modo potrebbe essere quello di posizionare i due rossi nella prima e nella seconda posizione, e il resto delle palle nelle posizioni che rimangono.

Simile al caso precedente, potremmo dare alle palle rosse la prima e ultima posizione rispettivamente e occuparci gli altri con le palline blu.

Ora, un modo efficace per contare quanti modi possiamo ordinare le palle di fila utilizza numeri combinatori. Possiamo vedere ogni posizione come un elemento del seguente set:

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Di seguito è riportato solo un sottoinsieme di due elementi, in cui ciascuno di questi elementi rappresenta la posizione che le palline rosse occuperanno. Possiamo fare questa scelta in base alla relazione data da:

In questo modo, abbiamo che ci sono 21 modi per ordinare tali palle.

L'idea generale di questo esempio sarà molto utile nella dimostrazione del teorema binomiale. Diamo un'occhiata a un caso particolare: se n = 4, abbiamo (A+B)⁴, Non è altro che:

Quando sviluppiamo questo prodotto, abbiamo la somma dei termini ottenuti moltiplicando un elemento di ciascuno dei quattro fattori (A+B). Pertanto, avremo termini che saranno nella forma:

Se volessimo ottenere il termine del modulo a⁴, È sufficiente solo moltiplicare come segue:

Si noti che esiste solo un modo per ottenere questo elemento; Ma cosa succede se ora cerchiamo la fine della forma²B²? Poiché "a" e "b" sono numeri reali e, quindi, vale la pena la legge commutativa, dobbiamo ottenere questo termine è moltiplicare con i membri come indicato dalle frecce.

Eseguire tutte queste operazioni è generalmente un po 'noioso, ma se vediamo il termine "A" come una combinazione in cui vogliamo sapere quanti modi possiamo scegliere due "A" da un insieme di quattro fattori, possiamo usare l'idea di L'esempio precedente dell'esempio precedente. Quindi, abbiamo quanto segue:

Quindi, sappiamo che nello sviluppo finale dell'espressione (A+B)⁴ Avremo esattamente il sesto posto²B². Usando la stessa idea per altri elementi, devi:

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Quindi aggiungiamo le espressioni ottenute sopra e dobbiamo:

È una dimostrazione formale per il caso generale in cui "n" è un numero naturale.

Dimostrazione

Si noti che i termini lasciati durante lo sviluppo (A+B)^N Sono dalla forma a^KB^N-k, dove k = 0,1, ..., n. Usando l'idea dell'esempio precedente, abbiamo il modo di scegliere le variabili "k" a "dei fattori" n "è:

Quando si sceglie in questo modo, stiamo scegliendo automaticamente le variabili N-K "B". Questo ne consegue:

Esempi

Considerando (a+b)⁵, Quale sarebbe il tuo sviluppo?

Per il teorema binomiale dobbiamo:

Il teorema binomiale è molto utile se abbiamo un'espressione in cui vogliamo sapere qual è il coefficiente di un termine specifico senza dover eseguire il completo sviluppo. Ad esempio, possiamo prendere il seguente sconosciuto: Qual è il coefficiente X⁷E⁹ Nello sviluppo di (x + y)¹⁶?

Per il teorema binomiale, abbiamo che il coefficiente è:

Un altro esempio sarebbe: qual è il coefficiente X⁵E⁸ Nello sviluppo di (3x-7y)¹³?

Per prima cosa riscriviamo l'espressione in modo conveniente; questo è:

Quindi, usando il teorema binomiale, abbiamo che il coefficiente richiesto è quando hai k = 5

Un altro esempio degli usi di questo teorema è nella dimostrazione di alcune identità comuni, come quelle che menzioneremo di seguito.

Identità 1

Se "N" è un numero naturale, dobbiamo:

Per la dimostrazione usiamo il teorema binomiale, in cui sia "A" che "B" prendono il valore di 1. Poi abbiamo:

In questo modo abbiamo dimostrato la prima identità.

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Identità 2

Se "n" è un numero naturale, allora

Per il teorema binomiale dobbiamo:

Un'altra dimostrazione

Possiamo fare una dimostrazione diversa per il teorema binomiale usando il metodo induttivo e l'identità di Pascal, che ci dice che, se "n" e "k" sono numeri interi positivi che soddisfano n ≥ k, allora:

Dimostrazione di induzione

Vediamo che la base induttiva è soddisfatta.  Se n = 1, dobbiamo:

Anzi, vediamo che è soddisfatto. Ora, n = j in modo tale da soddisfare:

Vogliamo vederlo per n = j+1 è vero che:

Quindi dobbiamo:

Per ipotesi lo sappiamo:

Quindi, utilizzando la proprietà distributiva:

Successivamente, lo sviluppo di ciascuno dei riassunti è:

Ora, se raggruppiamo comodamente, dobbiamo:

Usando l'identità di Pascal, dobbiamo:

Infine, nota che:

Pertanto, vediamo che il teorema binomiale è soddisfatto per ogni "N" appartenente a numeri naturali, e con questo il test termina.

Curiosità

Il numero combinatorio (NK) è anche chiamato coefficiente binomiale perché è proprio il coefficiente che appare nello sviluppo del binomiale (A+B)^N.

Isaac Newton ha dato una generalizzazione di questo teorema per il caso in cui l'esponente è un numero reale; Questo teorema è noto come teorema binomiale di Newton.

Già in antichità questo risultato era noto per il caso particolare in cui n = 2. Questo caso è menzionato nel Elementi di euclide.