Steiner Spiegation Teorema, applicazioni, esercizi

Lui Il teorema di Steiner, anche conosciuto come Teorema dell'asse parallelo, Permette di valutare il momento di inerzia di un corpo esteso, attorno a un asse parallelo a un altro che passa attraverso il centro di massa dell'oggetto.

È stato scoperto dal matematico svizzero_Cm Il momento di inerzia dell'oggetto rispetto a un asse che passa attraverso il suo CM di massa CM_z il momento di inerzia rispetto ad un altro asse parallelo a questo.

Figura 1. Una porta rettangolare che gira le sue gioie ha un momento di inerzia che può essere calcolato applicando il teorema di Steiner. Fonte: Pixabay.

Conosciuta la distanza d che separa sia gli assi che la massa m dal corpo in questione, il momento di inerzia rispetto all'asse in incognito è:

Yo_z = I_Cm + MD²

Il momento dell'inerzia indica quanto sia facile per un oggetto ruotare attorno a un determinato asse. Dipende non solo dal corpo del corpo, ma da come è distribuito. Per questo motivo è anche noto come Inerzia rotazionale, Essere le tue unità nel sistema KG internazionale . M².

Il teorema mostra che il momento dell'inerzia Yo_z È sempre più grande del momento dell'inerzia Yo_Cm in un importo dato da M.D².

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Applicazioni

Poiché un oggetto è in grado di ruotare attorno a numerosi assi e nelle tabelle di solito solo il momento di inerzia per quanto riguarda l'asse che passa attraverso il centroide, il teorema di Steiner facilita il calcolo quando deve ruotare i corpi sugli assi sugli assi che non coincidono Questo.

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Ad esempio, una porta comunemente non ruota attorno a un asse che attraversa il suo centro di massa, ma rispetto a un asse laterale, dove i cardini aderiscono.

Quando conosce il momento dell'inerzia è possibile calcolare l'energia cinetica associata alla rotazione su questo asse. Sì K è energia cinetica, Yo il momento di inerzia attorno all'asse in questione e Ω La velocità angolare è soddisfatta che:

K = ½ i.Ω²

Questa equazione è molto simile alla formula molto familiare di energia cinetica per un oggetto di massa M muoversi a velocità v:  K = ½ m.v². Ed è questo il momento di inerzia o inerzia rotazionale Yo gioca in rotazione lo stesso ruolo dell'impasto M Nella traduzione.

Dimostrazione del teorema di Steiner

Il momento di inerzia di un oggetto esteso è definito come:

I = ∫R² DM

Dove DM È una massa infinitesimale di massa e R È la distanza tra DM e l'asse di rotazione z. Nella Figura 2 questo asse attraversa il centro di massa CM, tuttavia può essere chiunque.

figura 2. Un oggetto esteso in rotazione attorno a due assi paralleli. Fonte: f. Zapata.

Intorno a un altro asse  Z ', Il momento dell'inerzia è:

Yo_z= ∫ (R ')² DM

Ora, secondo il triangolo formato dai vettori D, R E R ' (Vedi la Figura 2 a destra), c'è una somma vettoriale:

R + R ' = D   → R ' = D - R

I tre vettori sono sul piano dell'oggetto che può essere il XY. L'origine del sistema di coordinate (0,0) è scelta in CM per facilitare i calcoli che seguono.

In questo modo il modulo quadrato del vettore R ' È:

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(R ')² = (D_X- R_X)² +(D_E - R_E)² =

= D_X² + D_E² +R_X² + R_E2 -2d_XR_X - 2 d_ER_E =

= D² + R²  - 2d_XR_X - 2 d_ER_E

Ora questo sviluppo è sostituito nell'integrale del momento dell'inerzia I_z e viene anche utilizzata la definizione di densità DM = ρ.DV:

Il termine m. D² che appare nel teorema di Steiner proviene dal primo integrale, il secondo è il momento dell'inerzia per quanto riguarda l'asse che passa attraverso CM.

Da parte sua, il terzo e il quarto integrale valgono 0, poiché per definizione costituiscono la posizione del CM, che è stata scelta come origine del sistema di coordinate (0,0).

Esercizi risolti

-Esercizio risolto 1

La porta rettangolare della Figura 1 ha una massa di 23 kg, 1,30 larga e 2,10 m di altezza. Determina il momento di inerzia della porta per quanto riguarda l'asse che passa attraverso la gioia, supponendo che la porta sia sottile e uniforme.

Figura 3. Schema per l'esempio risolto 1. Fonte: Pixabay modificato.

Soluzione

Da un tavolo di momenti di inerzia, per una piastra rettangolare di massa M e dimensioni A E B, Il momento di inerzia rispetto all'asse che passa attraverso il suo centro di massa è: i_Cm = (1/12)M(A² + B²).

Si assume una porta omogenea (un approccio, poiché la porta della figura probabilmente non è così tanto). In questo caso, il centro di massa passa attraverso il suo centro geometrico. Nella Figura 3, è stato disegnato un asse che passa attraverso il centro di massa e che è anche parallelo all'asse che passa attraverso la gioia.

Yo_Cm = (1/12) x 23 kg x (1.30²+2.10²) M² = 11.7 kg.M²

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Applicazione del teorema di Steiner per l'asse di rotazione verde:

I = i_Cm + MD² = 11.7 kg.M² + 23 kg x 0.652 m² = 21.4 kg.

-Esercizio risolto 2

Trova il momento di inerzia di una sottile asta omogenea quando ruota rispetto a un asse che passa attraverso una delle sue estremità, vedi Figura. È maggiore o meno del momento di inerzia quando ruota attorno al suo centro? Perché?

Figura 4. Schema per l'esempio risolto 2. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Secondo i momenti di inerzia, il momento dell'inerzia Yo_Cm di una sottile asta di pasta M e lunghezza L È: Yo_Cm = (1/12) ml²

E il teorema di Steiner afferma che quando viene ruotato attorno a un asse che passa attraverso un'estremità d = l/2 rimane:

I = i_Cm + MD² = (1/12) ml² + M (l/2)² = (1/3) ml²

È vecchio.

L'influenza della distanza dall'asse di rotazione non è lineare, ma quadratica. Una massa che è il doppio della distanza che un altro avrà un momento di inerzia proporzionale a (2d)² = 4d².

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Movimento rotazionale. Recuperato da: Phys.Nthu.Edu.TW.
3. Teorema dell'asse parallelo. Recuperato da: iperfisica.Phy-Astr.GSU.Edu.
4. Rex, a. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema dell'asse parallelo. Recuperato da: in.Wikipedia.org