Teorema euclide

Qual è il teorema di Euclide?

Lui Teorema euclide Dimostra le proprietà di un triangolo di destra disegnando una linea che lo divide in due nuovi rettangoli che sono simili tra loro e, a loro volta, sono simili al triangolo originale; Quindi, c'è una relazione di proporzionalità.

Euclides è stato uno dei più grandi matematici e geometri della vecchiaia che ha fatto diverse dimostrazioni di importanti teoremi. Uno dei principali è quello che porta il suo nome, che ha avuto un'ampia applicazione.

Questo è stato così perché, attraverso quel teorema, le relazioni geometriche esistenti nel triangolo rettangolare spiegano, dove ciò sono correlati alle loro proiezioni nell'ipotenusa.

Formule e dimostrazione

Il teorema di euclide propone che in ogni triangolo destro, quando viene tracciata una linea - che rappresenta l'altezza che corrisponde al vertice dell'angolo retto rispetto all'ipotenusa - due rettangoli sono formati dai triangoli originali dall'originale.

Questi triangoli saranno simili tra loro e saranno anche simili al triangolo originale, il che significa che i loro lati simili sono proporzionali tra loro:

Gli angoli dei tre triangoli sono congruenti; Cioè, quando ruotato a 180 gradi sul suo vertice, un angolo coincide sull'altro. Ciò implica che tutti saranno uguali.

In questo modo puoi anche verificare la somiglianza che esiste tra i tre triangoli, per l'uguaglianza dei suoi angoli. Dalla somiglianza dei triangoli, Euclide stabilisce le proporzioni di questi da due teoremi:

• Teorema di altezza.
• Il teorema dei cateto.

Questo teorema ha un'ampia applicazione. Nei tempi antichi veniva usato per calcolare altezze o distanze, rappresentando un grande progresso per la trigonometria.

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Attualmente è applicato in varie aree basate su matematica, come ingegneria, fisica, chimica e astronomia, tra molte altre aree.

Teorema di altezza

Questo teorema stabilisce che in qualsiasi triangolo rettangolare, l'altezza tratta dall'angolo retto rispetto all'ipotenusa è la media proporzionale geometrica (il quadrato dell'altezza) tra le proiezioni dei cotetos che determina l'ipotenuse.

Cioè, il quadrato dell'altezza sarà uguale alla moltiplicazione delle gambe proiettate che formano l'ipotenusa:

H_C² = m _* N

Dimostrazione

Dato un triangolo ABC, che è rettangolo nel vertice C, vengono generati due rettangoli simili, ADC e BCD; Pertanto, i loro lati corrispondenti sono proporzionali:

In questo modo quell'altezza h_C Corrisponde al segmento CD, corrisponde all'ipotenusa AB = C, quindi è necessario:

A sua volta, questo corrisponde a:

Cancella l'ipotenusa (h_C), Per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, devi:

H_{C *} H_{C =} M _* N

H_C² = m _* N

Pertanto, il valore dell'ipotenusa è dato da:

Il teorema dei cateto

Questo teorema stabilisce che, in ogni triangolo di destra, la misura di ciascun cateto sarà la media proporzionale geometrica (il quadrato di ciascun cateto) tra la misura dell'ipotenusa (completa) e la proiezione di ciascuno su di essa:

B² = c _* M

A² = c_* N

Dimostrazione

Dato un triangolo ABC, che è rettangolo nel vertice C, in modo che la sua ipotenusa sia C, quando si disegna l'altezza (h) sono determinate le proiezioni delle categorie A e B, che sono rispettivamente i segmenti M e N e che sono attivi L'ipotenusa.

Pertanto, l'altezza disegnata sul triangolo rettangolare ABC genera due rettangoli simili, ADC e BCD, in modo che i lati corrispondenti siano proporzionali, come questo:

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Db = n, che è la proiezione della cateto CB sull'ipotenusa.

Ad = m, che è la proiezione della cateto AC sull'ipotenusa.

Quindi, l'ipotenusa C è determinata dalla somma delle gambe delle sue proiezioni:

C = m + n

A causa della somiglianza degli ADC e dei triangoli BCD, devi:

Quanto sopra è lo stesso di:

Clearendo la cateto "A" per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, devi:

A _* a = c _* N

A² = c _* N

Pertanto, il valore della cateto "A" è dato da:

Allo stesso modo, a causa della somiglianza degli ACB e dei triangoli ADC, devi:

Quanto sopra è uguale a:

Cancellando la cateto "b" per moltiplicare i due membri dell'uguaglianza, devi:

B _* B = c _* M

B² = c _* M

Pertanto, il valore della cateto "B" è dato da:

Relazione tra teoremi di euclidi

I teoremi con riferimento all'altezza e le categorie sono correlati tra loro perché la misura di entrambi è fatta per quanto riguarda l'ipotenusa del triangolo rettangolo.

Attraverso la relazione tra teoremi di euclidi si può trovare anche il valore dell'altezza; Ciò è possibile cancellando i valori di m e n del teorema della categoria e sono sostituiti nel teorema di altezza. In questo modo, è soddisfatto che l'altezza sia uguale alla moltiplicazione delle gambe, divisa per ipotenusa:

B² = c _* M

m = b² ÷ c

A² = c _* N

n = a² ÷ c

Nell'altezza il teorema M e N viene sostituito:

H_C² = m _* N

H_C² = (b² ÷ c) _* (A² ÷ c)

H_C = (b² _* A²) ÷ c

Esercizi risolti

Esempio 1

Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, determinare la misura di AC e AD, se AB = 30 cm e Bd = 18 cm

Soluzione

In questo caso ci sono le misure di una delle gambe proiettate (BD) e di uno dei teli del triangolo originale (AB). In questo modo puoi applicare il teorema della categoria per trovare il valore di BC Cateto.

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Ab² = Bd _* AVANTI CRISTO

(30)² = 18 _* AVANTI CRISTO

900 = 18 _* AVANTI CRISTO

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Il valore del CD Cateto può essere trovato sapendo che bc = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Ora è possibile determinare il valore della cateto AC, applicando di nuovo il teorema della categoria:

AC² = CD _* Bd

AC² = 32 _* cinquanta

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Per determinare il valore di altezza (AD), si applica il teorema di altezza, poiché sono noti i valori delle categorie proiettate CD e BD:

ANNO DOMINI² = 32 _* 18

ANNO DOMINI² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Esempio 2

Determina il valore dell'altezza (h) di un triangolo MNL, rettangolo in N, conoscendo le misure dei segmenti:

NL = 10 cm

Mn = 5 cm

PM = 2 cm

Soluzione

Hai la misura di una delle gambe proiettate sull'ipotenusa (PM), nonché le misure delle categorie di triangoli originali. In questo modo puoi applicare il teorema della categoria per trovare il valore dell'altro cateto proiettato (LN):

Nl² = PM _* Lm

(10)² = 5 _* Lm

100 = 5 _* Lm

Pl = 100 ÷ 5 = 20

Poiché il valore delle categorie e l'ipotenusa è già noto, attraverso la relazione dei teoremi di altezza e le categorie possono essere determinati il ​​valore dell'altezza:

NL = 10

Mn = 5

Lm = 20

H = (B² _* A²) ÷ c.

H = (10² _* 5²)  ÷ (venti)

H = (100 _* 25) ÷ (venti)

H = 2500 ÷ venti

H = 125 cm.