Proprietà di simmetria assiale, esempi ed esercizi

IL Simmetria assiale Si verifica quando i punti di una figura coincidono con i punti di un'altra figura per mezzo di un mediatrix diretto chiamato asse di simmetria. È anche chiamato simmetria radiale, rotazionale o cilindrica.

Di solito viene applicato in figure geometriche, ma è facilmente osservabile in natura, poiché ci sono animali come farfalle, scorpioni, scaffali o umani adeguatamente che presentano simmetria assiale.

In questa foto dell'orizzonte della città di Toronto e il suo riflesso nella simmetria assiale dell'acqua. (Fonte: Pixabay)

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Come trovare l'assiale simmetrico

Per trovare il p 'assiale simmetrico di un punto p rispetto a una linea (L) vengono eseguite le seguenti operazioni geometriche:

1.- È rintracciato il perpendicolare alla linea (L) che passa attraverso il punto P.

2.- L'intercettazione delle due linee determina un punto o.

3.- Viene misurata la lunghezza del segmento PO, quindi questa lunghezza viene copiata sulla linea (PO) a partire da o nella direzione di p a o determinando il punto p '.

4.- Punto p.

Figura 1. Due punti P e P 'sono assialmente simmetrici di un asse (L) se detto asse è mediatrix del segmento PP'

Proprietà della simmetria assiale

- La simmetria assiale è isometrica, cioè le distanze di una figura geometrica e il suo corrispondente simmetrico.

- La misura di un angolo e quella del suo simmetrico sono gli stessi.

- L'assiale simmetrico di un punto sull'asse della simmetria è il punto stesso.

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- La linea simmetrica di una linea parallela all'asse di simmetria è anche una stalla parallela a detto asse.

- Una linea secante all'asse di simmetria è simmetrica.

- L'immagine simmetrica di una linea è un'altra linea che forma un angolo con l'asse di simmetria della stessa misura di quella della linea originale.

- L'immagine simmetrica di una linea perpendicolare all'asse della simmetria è un'altra linea che si sovrappone alla prima.

- Una linea e la sua linea simmetrica assiale formano un angolo il cui bisettore è l'asse della simmetria.

figura 2. La simmetria assiale preserva le distanze e gli angoli.

Esempi di simmetria assiale

La natura presenta abbondanti esempi di simmetria assiale. Ad esempio, puoi vedere la simmetria dei volti, di insetti come farfalle, il riflesso sulle superfici di acque e specchi calmi o le foglie delle piante, tra molti altri.

Figura 3. Questa farfalla presenta una simmetria assiale quasi perfetta. (Fonte: Pixabay) Figura 4. Il volto di questa ragazza ha una simmetria assiale. (Fonte: Pixabay)

Esercizi di simmetria assiale

Esercizio 1

Hai il triangolo dei vertici A, B e C le cui coordinate cartesiane sono rispettivamente A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3.3). Trova le coordinate cartesiane del triangolo simmetrico rispetto all'asse Y (asse delle ordinate).

Soluzione: Se un punto p ha coordinate (x, y), il suo simmetrico rispetto all'asse degli ordinati (asse y) è p '= (-x, y). In altre parole.

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In questo caso, il triangolo simmetrico dei vertici A ', B' e C 'avrà coordinate:

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) e c' = (-3, 3) come può essere controllato nella Figura 6.

Figura 6. Se un punto ha le coordinate (x, y) il suo simmetrico rispetto all'asse y (asse degli ordinati) avrà coordinate (-x, y).

Esercizio 2

In riferimento al triangolo ABC e al suo simmetrico a'b'c 'dell'esercizio 1, verificare che i lati corrispondenti del triangolo originale e il suo simmetrico abbiano la stessa lunghezza.

Soluzione: Per trovare la distanza o la lunghezza dei lati utilizziamo la formula della distanza euclida:

d (a, b) = √ ((bx-ax)^2 + (by-ly)^2) = √ ((1-2)^2 + (1-5)^2) = √ ((-1 )^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4.123

Successivamente, viene calcolata la lunghezza del lato simmetrico corrispondente a'b ':

D (a ', b') = √ ((bx'-ax ')^2 +(by'-y^2) = √ ((-1 +2)^2 +(1-5)^2) = √ ((1)^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4,123

In questo modo, è dimostrato che la simmetria assiale conserva la distanza tra due punti. La procedura può essere ripetuta per gli altri due lati del triangolo e il suo simmetrico per verificare l'invarianza nella lunghezza. Ad esempio | AC | = | A'c '| = √5 = 2.236.

Esercizio 3

In relazione al triangolo ABC e al suo simmetrico a'b'c 'dell'esercizio 1, verificare che gli angoli corrispondenti del triangolo originale e il loro simmetrico abbiano la stessa misura angolare.

Soluzione: Per determinare le misure degli angoli BAC e B'A'C 'Il prodotto scalare dei vettori verrà calcolato per primo Ab con AC e poi il prodotto scalare di A'b ' con AC '.

Ricordando questo:

A = (2, 5), b = (1, 1) e c = (3.3)

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) e c' = (-3, 3).

Hai:

Ab = y AC =

Allo stesso modo

A'b ' = y AC =

Può servirti: teorema di lamy

Quindi vengono trovati i seguenti prodotti scalari:

Ab⋅ac = ⋅ = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Allo stesso modo

A'b'⋅a'c ' = ⋅ = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

La misura dell'angolo BAC è:

∡bac = arccos ( Ab⋅ac / (|AB |⋅ |Ac |)) = 

Arccos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40,6º

Allo stesso modo, la misura dell'angolo b'a'c 'è:

∡b'a'c '= arccos ( A'b'⋅a'c ' / (|A'b '|⋅ |A'c '|)) = 

Arccos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40,6º

Concludendo che la simmetria assiale preserva la misura degli angoli.

Esercizio 4

Essere un punto p di coordinate (a, b). Trova le coordinate del suo p 'assiale simmetrico rispetto alla linea y = x.

Soluzione: Chiameremo (a ', b') alle coordinate del punto simmetrico P 'rispetto alla linea y = x. Il punto medio m del segmento pp 'ha coordinate ((a+a')/2, (b+b ')/2) ed è anche sulla linea y = x, quindi la seguente uguaglianza è soddisfatta:

A + a '= b + b'

D'altra parte, il segmento PP 'ha in sospeso -1 per essere perpendicolare alla linea y = x della pendenza 1, quindi viene soddisfatta la seguente uguaglianza:

B - b '= a' -a

Clearendo le due uguaglianze prima di 'e b' si conclude che:

a '= b e cosa b' = a.

Cioè, dato un punto p (a, b), il suo assiale simmetrico rispetto alla linea y = x è p '(b, a).

Riferimenti

1. Arce m., Blázquez S e altri. Trasformazioni del piano. Recuperato da: educutmxli.File.WordPress.com
2. Calcolo CC. Simmetria assiale. Recuperato da: calcolo.DC
3. Superprof. Simmetria assiale. Recuperato da: SuperProf.È
4. Wikipedia. Simmetria assiale. Recuperato da: è.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Circolare di simmetria. Recuperato da: in.Wikipedia.com