Regole di derivazione (con esempi)

Quali sono le regole di derivazione?

IL Regole di derry Sono l'insieme di indicazioni da seguire per trovare il derivato ordinario di una vera funzione variabile f (x).

Il derivato ordinario della funzione f (x), indicato come f '(x), viene interpretato come il tasso di cambio istantaneo di detto funzione rispetto alla variabile x. Graficamente, il derivato è la pendenza della linea tangente alla curva di f (x), calcolata in un determinato punto la cui coordinata è x_O, come rappresentato nella figura seguente.

Il derivato come pendenza della linea tangente a f (x) in un determinato punto. Fonte: wikimedia anemos/modificata da f. Zapata.

Ora, analiticamente il derivato viene calcolato attraverso il seguente limite:

Quindi, ogni volta che è richiesto il derivato di alcune funzionalità, il limite dovrebbe essere valutato come indicato. Tuttavia, ci sono regole di deratazione, che sono facilmente memorizzate con un po 'di pratica e salvano il lavoro di calcolo del limite, che in alcuni casi è ingombrante.

Quali sono le regole di derivazione?

Le regole di derivazione mostrate di seguito sono facilmente ottenute attraverso la definizione del derivato formale.

1. Derivati ​​immediati

Derivato da una costante

Il derivato di una costante k è 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Esempio

f (x) = 5, quindi f '(5) = 0

Derivato da x

Il derivato di f (x) = x è sempre 1, vale a dire che:

f (x) = x, quindi f '(x) = 1

2. Funzione lineare derivata

La funzione lineare ha la forma:

f (x) = ax

Dove a è un numero reale.

Il suo derivato è:

f '(x) = a

• Esempio

Sia f (x) = 3x, quindi:

f '(x) = 3

3. Derivato da una somma

Se f (x) è la somma o la sottrazione di due funzioni U e V, entrambe differenziabili:

f (x) = u ± V

COSÌ:

f '(x) = u' (x) ± V '(x)

Derivato dalla funzione correlata

La funzione correlata è la somma di due termini:

Può servirti: operazioni combinate

f (x) = ax + b

Dove a e b sono numeri reali. Applicando la somma della somma:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Ma:

(ax) '= a (regola 2)

(b) '= 0 (Regola 1)

Perciò:

f '(x) = a

• Esempio

Il derivato di f (x) = −8x + 6 è:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Derivato da un potere

Caso 1

Sia f (x) una potenziale funzione della forma f (x) = x^N, COSÌ:

f (x) = x^N ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Esempio

Quando derivato:

f (x) = x³

Risultato:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Caso 2

Se la funzione ha il modulo f (x) = ax^N, Dove A è un numero reale, esce dal derivato:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Esempio

Derivare:

f (x) = 4x⁵

È ottenuto:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Caso 3

Se l'esponente è frazionario, procede allo stesso modo in cui è stato spiegato nei casi 1 e 2. Ciò si verifica quando la variabile X si trova come argomento di una radice.

• Esempio

Essere la funzione:

f (x) = 3x^3/2

Il derivato è:

 Se vuoi scrivere sotto forma di radice:

5. Prodotto derivato

La regola del prodotto si applica alle funzioni di formazione del prodotto tra due funzioni U e V, entrambe differenziabili:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Cioè, il derivato del prodotto di due funzioni è il derivato del primo, al secondo senza derivarsi, più il primo senza derivare, moltiplicato per il derivato del secondo.

• Esempio

Trova, seguendo la regola del prodotto e le regole sopra descritte, il derivato di:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

La prima cosa è decidere chi sono u e v, ricordando che l'ordine dei fattori non altera il prodotto, possono essere scelti in questo modo:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Quindi viene sollevata la regola del prodotto e i derivati ​​indicati vengono risolti, secondo le regole sopra descritte:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

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Si deve:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Sostituzione:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Il derivato è già pronto, ma l'espressione può ancora essere un fattore:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Questo risultato può essere ottenuto anche applicando una proprietà distributiva precedentemente al prodotto (2x+3) (4x²−1) e quindi usando le regole da 1 a 4. È lasciato come esercizio per il lettore.

6. Derivato dal quoziente

Essere una funzione della forma:

Con la condizione v ≠ 0, e che entrambi, u e v, sono differenziabili. In questo caso, il suo derivato viene calcolato attraverso:

• Esempio

Trova il derivato di:

Per questo esempio devi:

• U = x+1
• v = x²

Il rapporto tra la regola del quoziente porta a:

Per il quale è necessario sostituire quanto segue:

• (x+1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²)² = x⁴

E quando si sostituisce è:

Applicando la proprietà distributiva nel numeratore e riducendo i termini, l'espressione per f '(x) è:

L'esercizio avrebbe potuto essere risolto in un altro modo, riscrivendo F (x) come:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

E quindi applicare la regola del prodotto e un po 'di algebra. Viene lasciato come esercizio per il lettore per verificare che sia ottenuto un risultato identico.

7. la regola della catena

Si applica alle funzioni composite, forma:

f = f (u)

Dove u = g (x)

Il suo derivato viene effettuato come segue:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) è noto come il Derivato interno. Applicare la regola della catena è più semplice di quanto sembri a prima vista, vedere questo esempio:

• Esempio

Applicando la regola della catena, trova il derivato di:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Pertanto, f (u) = u⁷ E il suo derivato, secondo la Regola 4 è:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Questo risultato viene salvato e viene calcolato il derivato interno g '(x):

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Qui è necessario applicare le regole in seguito: 3 (per la somma/sottrazione delle funzioni), 4 (per poteri) e 1 (per il derivato di una costante).

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È ottenuto:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

L'ultimo passo è moltiplicare i risultati:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

E infine riorganizzare i fattori:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Derivato da funzioni trigonometriche

I derivati ​​delle funzioni trigonometriche sono:

• Esempio

Derivare:

H (x) = sin (4x)

Fare u = 4x e si ottiene l'applicazione della regola della catena:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Derivato da funzioni trigonometriche inverse

Sono mostrati nella tabella seguente:

• Esempio

Derivare:

g (x) = arct tg (-2x)

Tenendo sempre presente la regola della catena, U = -2x è fatto e il derivato è:

10. Derivato da funzioni esponenziali e logaritmiche

Funzione esponenziale

Se la base è numero E:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Quando la base è un numero A:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Funzione logaritmica

Quando viene derivata una funzione del logaritmo neperiano:

f (x) = ln x

Nel caso di un logaritmo su un'altra base:

f (x) = log_A X

• Esempio

Derivare:

H (x) = x ∙ lnx

undici. Derivato implicito

Sono usati quando la clearance di y (x) non è immediata, quindi non esiste un'espressione esplicita per f (x), come nei casi precedenti. Anche così, è possibile trovare il derivato con la procedura che è illustrata nell'esempio seguente:

• Esempio

Deriva implicitamente la seguente espressione da trovare e ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Come puoi vedere, non è facile da trovare e a seconda di X direttamente, quindi per trovare il derivato richiesto, le regole descritte vengono applicate, facendo riferimento su entrambi i lati dell'uguaglianza:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (e²) '] - (2y³) '= 0 (regola della somma e regola del prodotto)

L'obiettivo è chiarire e ', che è il derivato richiesto, per il quale viene applicata la regola della catena:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²e '= 12x² + 11 + 22xy ∙ e ' - 6y² ∙ e '= 0

e '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0