Regola della leva

Qual è la regola della leva?

IL Regola della leva È una procedura matematica che consente di calcolare le frazioni, le percentuali o gli importi delle fasi presenti in equilibrio all'interno di un sistema binario. Non solo è matematico, ma anche abbastanza grafico e assertivo, molto utile nei calcoli fisico -chimici e ingegneristici.

Questa regola si applica ai diagrammi di fase per i sistemi binari, indipendentemente dal tipo di sistema stesso. Cioè, le fasi possono essere solide, come con le leghe; o liquido e gassoso, come vediamo nei sistemi in equilibrio di vapore liquido.

Il principio fisico e matematico della leva viene utilizzato anche per scopi chimici e nella fisica dei materiali. Fonte: Jimbowley, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons

La regola della leva può essere applicata tenendo in considerazione direttamente i valori grafici nell'asse di Ascissa, in cui le frazioni o le percentuali globali del componente più volatile di solito stanno andando, nel caso di liquidi; o refrattario, nel caso dei metalli nelle loro leghe.

Come si vedrà di seguito, il suo nome è dovuto all'immensa somiglianza che ha con le espressioni matematiche che dimostrano l'equilibrio tra due masse situate alle estremità di un bilanciere con Fulcro.

Le braccia a leva devono bilanciare per bilanciare le masse dei carichi; In caso di diagrammi di fase, frazioni e moli delle fasi nell'equilibrio del materiale.

Spiegazione

Aspetti grafici

Ipotetico diagramma binario in cui una linea di legame mostra le composizioni delle fasi liquide e di vapore. Fonte: Gabriel Bolívar.

Nel mezzo del diagramma sopra abbiamo una regione in cui coesistono liquidi e vapore; Cioè, la regione di equilibrio del vapore liquido. Sopra questa regione la miscela di A e B sarà liquida e sotto la soda sarà soda a causa delle pressioni più basse.

Ora, considera una miscela con una composizione X_B e la cui pressione lo posiziona nel punto D. Disegniamo dal punto D una linea orizzontale che tocca la linea e la curva sui lati, originari dei punti C ed E, rispettivamente. Questa linea, che comunica i punti C, D ed E, C-D-E, è quella nota come linea di unione e proiettandola verso l'asse e deve darci la pressione del sistema.

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Quindi, da questi punti disegniamo altre linee perpendicolari alla linea di legame, che giocherà l'asse x. Poiché il punto E poggia sulla curva del vapore, allora avremo la frazione molare di B nella fase del vapore (x_B^V). Allo stesso modo, il punto C, sulla linea retta di liquido, ci darà la frazione molare di B in fase liquida (x_B^L).

La regola della leva si basa esattamente sulla linea di legame e le distanze tra x_B^L, X_B e x_B^V.

Detrazione matematica

La frazione molare globale di B è uguale a:

X_B = N_B / ((N^L + N^V)

Dove N_B Sono le moli totali di B sia nella fase liquida che a vapore, e N^L E N^V sono le rispettive moli per queste fasi. Compimento N_B avremo:

N_B = X_BN^L + X_BN^V (1)

D'altra parte, N_B È anche uguale a:

N_B = N_B^L + N_B^V

= X_B^LN^L + X_B^VN^V  (2)

Ora equazioni equazioni (1) e (2) ci darà:

X_BN^L + X_BN^V = X_B^LN^L + X_B^VN^V

E riorganizzare:

N^L(X_B - X_B^L) = N^V(X_B^V - X_B) (3)

N^L(C-d) = N^V(DI)

Queste ultime due espressioni matematiche sono la regola della leva. Nota che x_B - X_B^L È la distanza tra i punti C e D; e x_B^V - X_B, È la distanza tra i punti D-E: le due metà della linea di legame (braccia a leva).

Questa equazione è molto simile a quella che descrive l'equilibrio delle masse su un bilanciere con fulcro:

M₁l₁ = m₂l₂

Pertanto, la regola della leva ci consentirà di calcolare le talpe totali N^L E N^V a condizione che siano note le moli totali della miscela, N_T (N_T = N^L + N^V).

Seconda forma

L'espressione precedente per la regola della leva serve a calcolare le quantità (masse, talpe, ecc.) delle fasi in equilibrio. Tuttavia, la versione più nota della regola della leva ci consente di calcolare le frazioni o le percentuali di ciascuna fase, prendendo solo le distanze tra x_B, X_B^L e x_B^V.

Considera lo stesso sistema sopra, con un'altra forma della regola della leva:

Equazioni per calcolare le frazioni liquide e vapore usando le braccia a leva. Fonte: Gabriel Bolívar.

Dove F ^L E F ^VSono frazioni molari (o percentuale, a seconda del grafico) delle fasi liquide e vapore, rispettivamente. Nota che, ovviamente, F ^L E F ^V Non hanno unità; Mentre N^L E N^V Sì, hanno unità (talpe, grammi, ecc.).

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Esempi

Metodo 1

In un contenitore 28 moli di B e 12 moli di A sono miscelati. Determinare gli importi e le frazioni molari per le fasi che si formano.

Calcoliamo x_B:

X_B = (28 moli B)/ (28 moli B + 12 moli A)

= 0.7

Questo valore corrisponde a x_B del diagramma superiore. Le intercettazioni ci darà approssimativamente i seguenti valori per x_B^L e x_B^V:

X_B^L = 0.41

X_B^V = 0.94

Con la regola della leva:

N^L(X_B - X_B^L) = N^V(X_B^V - X_B)

E sapendolo N_T = N^L + N^V, E? N_T = 40 talpe, allora chiariamo N^L O N^V A seconda dell'altro:

N^L(X_B - X_B^L) = (40 moli - N^L) (X_B^V - X_B)

Riorganizzazione e radura N^L avremo:

N^L = (40 moli) (x_B^V - X_B) / (X_B^V - X_B^L)

Questa espressione non ricorda quella di F ^L? Ora in sostituzione di: avremo:

N^L = (40 moli) (0.94 - 0.70) / (0.94 - 0.41)

= 18.11 moli in fase liquida

Possiamo calcolare N^V In due modi:

N^V = N^L(X_B - X_B^L) / (X_B^V - X_B)

O

N^V = 40 moli - 18.11 talpe

= 21.89 moli in fase di vapore

Metodo 2

E se calcolassimo per primo F ^L E F ^V?

F ^L = (X_B^V - X_B) / (X_B^V - X_B^L)

= (0.94 - 0.70) / (0.94 - 0.41)

= 0.4528 o 45.28%

Cioè 45.Il 2% delle moli è in una fase liquida, essendo quella quantità uguale a:

N^L = F ^LN_T

= (0.4528) (40 moli)

= 18.11 talpe

E F ^V Possiamo calcolarlo allo stesso modo in due modi:

F ^V = 1 - F ^L

O

F ^V = (X_B - X_B^L) / (X_B^V - X_B^L)

Essere il suo valore:

F ^V = 0.5472 o 54.72%

E quindi, N^V Sarà uguale a:

N^V = F ^VN_T

= (0.5472) (40 moli)

= 21.89 talpe

Si noti che l'applicazione delle due forme della regola della leva come metodi di calcolo alternativo, è possibile raggiungere gli stessi risultati. Il metodo 2 sembra più diretto e semplice; Ma se si osserva attentamente, una volta risolta la compensazione N^L O N^V, Si vedrà che entrambi i metodi sono in realtà ugualmente facili.

Esercizi risolti

Successivamente, verranno risolti altri due esercizi, dove ora i sistemi considerati coinvolgeranno un vapore solido liquido e non liquido. Inoltre, i diagrammi sono grafici rispetto alla temperatura del sistema e non alla loro pressione.

Esercizio 1

Diagramma di fase per una lega tra tantalo e tungsteno. Fonte: Materialpedia, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Abbiamo il diagramma di fase sopra una lega tra tantalo e tungsteno, ta-w. Sull'asse x è rappresentata le percentuali di massa globale del tungsteno, w% (m/m).

All'interno della regione di equilibrio liquido (TA+W) e solido (lega) c'è una miscela a 3200 ºC. Determina le masse di ogni fase supponendo che 100 grammi della lega siano stati riscaldati.

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Procedura

Questa volta l'esercizio verrà risolto usando la seconda forma della regola della leva. La linea dell'Unione ci dice che: nella fase solida abbiamo il 63% del tungsteno, mentre nella fase liquida abbiamo il 37% di tungsteno. Questo perché il tungsteno si scioglie a una temperatura più alta (3422 ºC) rispetto al tantal (3020 ºC).

Quindi, abbiamo:

W%^S o w_S= 63%

W%^L o w_L= 37%

E anche:

W₀ = 50.1%

Applichiamo la regola della leva F ^L:

F ^L = (63% - 50.1%) / (63% - 37%)

= 0.4961 o 49.61%

Si noti che la distanza corrispondente alla fase liquida è il braccio della leva vicino alla fase solida, il lato opposto del punto medio.

La massa della fase liquida è quindi:

(0.4961) (100 grammi) = 49.61 grammi fusi

E la fase solida sarà uguale a:

100 grammi - 49.61 grammi = 50.39 grammi di lega ricca di tungsteno

Esercizio 2

Diagramma di fase per leghe di titanio-nichel. Fonte: Doomgiver, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons

Per la lega di titanio e nichel a 800 ºC e con il 70% di nichel, determina quanto di tini e tini₃ sono presenti.

Procedura

Questa volta chiedono solo le frazioni di massa di ogni fase. Il punto rosso si trova nella regione di equilibrio tra le fasi tini e tini₃, le cui curve è dove riproduce la linea di unione che scorre ai valori del 58% o per la fase tini e il 77% o per la fase tini₃.

Si noti che il punto rosso è più vicino alla fase tini₃ quello della fase tini. Ciò significa che ci deve essere più tini₃ che Tini; E quindi, la distanza o il braccio della leva corrispondente a tini₃ Deve essere il più lungo, il contrario (70%-58%).

Sapendo questo, procediamo al calcolo F ^Tini3:

F ^Tini3 = (70% - 58%) / (77% - 58%)

= 0.6316 o 63.16%

In effetti, 63.Il 16% della lega corrisponde alla fase tini₃. Nel frattempo, la fase Tini corrisponde a:

1 = F ^Tini3 + F ^Tini

F ^Tini = 1 - F ^Tini3

= 0.3684 o 36.84%

In conclusione agli esercizi sollevati, possiamo dire che la regola della leva è molto utile per determinare le frazioni di ciascuna fase in equilibrio per un sistema a due componenti.

Riferimenti

1. Walter J. Moore. (1963). Chimica fisica. In cinetica chimica. Quarta edizione, Longmans.
2. Iran. Levine. (2009). Principi di fisica. Sesta edizione. Mc Graw Hill.
3. Wikipedia. (2020). Regola della leva. Recuperato da: in.Wikipedia.org
4. Michael Adewumi. (18 maggio 2020). La regola della leva. Recuperato da: Eng.Librettexts.org
5. Adam Warren. (1997). Diagrammi di fase: linee di legame e regola della leva. Recuperato da: Southampton.AC.UK
6. Università di Cambridge. (2020). La regola della leva. Estratto da: Doitpoms.AC.UK