Definizione radio, esempi ed esercizi di convergenza risolti

Lui Raggio di convergenza di una serie di poteri è il raggio del cerchio di convergenza a cui converge la serie. Questo cerchio si estende dal valore che annulla la base dei poteri alla singolarità più vicina della funzione associata alla serie.

Tutta la funzione analitica F (Z) Ha associato una serie di poteri attorno a un punto non singolare, chiamato Serie Taylor:

Figura 1. Il grafico mostra la serie di alimentazione attorno al valore A = 1 per la funzione f (x). Il suo raggio di convergenza è r = 2. Fonte: Fanny Zapata.

Dove A È il centro del cerchio di convergenza, z la variabile indipendente della funzione e il C_N Sono coefficienti correlati a quelli derivati ​​dalla funzione F sul punto z = a.

Il raggio di convergenza R È un numero reale positivo che definisce la regione:

| Z - A | < r

Dove la serie converge. Da quella regione la serie Diverge, cioè ci vuole valori infiniti. Quando il raggio di convergenza è infinito, la serie converge nell'intero piano complesso.

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Come viene determinato il raggio di convergenza?

Affinché una serie sia convergente, è necessario che il valore assoluto dei termini successivi diminuirà quando il numero di termini è molto grande. In modo matematico sarebbe espresso come segue:

Usando le proprietà dei limiti nell'espressione precedente, si ottiene:

Qui R È il raggio di convergenza e | Z - A | < r È il cerchio di bordo aperto nel piano complesso in cui la serie converge. Nel caso in cui il valore A E la variabile z è numeri reali, quindi l'intervallo aperto di convergenza sull'asse reale sarà: (A - R, A+R).

Serie Taylor

La serie Taylor di una funzione F (x) Intorno a un valore A In cui la funzione ha derivati ​​infiniti, è una serie di poteri definiti come:

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Nell'ambiente | X - A | < r, con R COMEIl raggio di convergenza della serie, la serie Taylor e la funzione devono essere F (x) Coincidono.

D'altra parte, il raggio di convergenza R È la distanza del punto A e la singolarità X_S più vicino al punto A, Essere i punti singolari quei valori in cui il limite della funzione tende all'infinito.

Cioè, quando X → X_S COSÌ F → ± ∞.

Esempi

Esempio 1

Essere S (x) I poteri forniti dalla seguente espressione:

S (x) = 1 - x + x²- X³+ X⁴-.. .+(-1)^N ⋅ x^N +.. .

Per determinare la regione in cui la serie converge, calcoliamo il quoziente tra il termine (n-beeimo + 1) e il termine (n-eme):

Il valore assoluto del quoziente anteriore è | x | e il suo limite quando N → ∞ è altresì  | x |.

Affinché la serie sia convergente, è necessario che:

Quindi il raggio di convergenza di questa serie è R = 1, poiché converge per i valori di x che sono a una distanza inferiore a 1 rispetto al centro x = 0.

Esempio 2

Vuoi trovare la serie Taylor della funzione f (x) = 1 / (1 + x) intorno al punto x = 0 e determinare il suo raggio di convergenza.

Per trovare la serie prendiamo i successivi derivati ​​della funzione f (x), di cui mostreremo i primi tre:

Tenendo conto del fatto che il termine dell'ordine zero della serie Taylor è:

 f (0) = 1,

Il primo ordine: F '(0)/1!

Secondo ordine:

 F "(0)/2!

Terzo ordine:

 f "(0)/3!

E così via, la serie Taylor della funzione data è:

f (x) = 1 - x + x² - X³ + X⁴ -.. .+(-1)^N ⋅ x^N +.. .

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Ciò coincide con la serie di alimentazione studiata nell'esempio 1.

Abbiamo già detto che il raggio di convergenza di una serie di Taylor è la distanza dal centro dell'espansione in serie, che nel nostro caso è il valore x = 0 fino alla prima singolarità della funzione F (x). 

Poiché la nostra funzione ha una singolarità (cioè un'infinito) in x = -1, La distanza tra il valore -1 e il centro di espansione 0 È | -1 - 0 | = 1, Si è concluso che il raggio di convergenza della serie Taylor è 1.

Questo risultato coincide completamente con quello ottenuto nell'esempio 1 con un altro metodo.

Il fatto che la zona di convergenza della serie Taylor sia l'intervallo aperto (-1, 1) implica che la funzione e la serie coincidono in questo intervallo, ma non al di fuori dello stesso.

Ciò è mostrato nella Figura 2, dove sono stati presi 41 termini della serie Taylor, disegnati dalla linea blu continua, mentre la funzione originale è mostrata sulla linea rossa di segmenti.

figura 2. Viene mostrata la funzione f (x) (in rosso) e la sua serie di poteri (o serie Taylor in blu). Può essere visto come i primi 41 termini della serie converge tra -1 e 1. Inoltre, la funzione e la sua serie coincidono solo nella regione di convergenza. (Fonte: Fanny Zapata)

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Considera la stessa funzione f (x) = 1 / (1 + x) dell'esempio 2, ma questa volta è richiesto di trovare la serie Taylor di detta funzione intorno al punto a = 1.

Soluzione

Troviamo i termini successivi della serie, a partire dal termine indipendente che è f (1) = ½.

Il coefficiente successivo corrispondente al termine del primo ordine è:

F '(1)/1! = -¼

Il secondo ordine è:

f "(1)/2! = 2/(2³ 2!)

Seguire il coefficiente di terzo ordine:

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f "(1)/3! = -6 / (2⁴ 3!)

E così via. La serie Taylor sarà:

SF (x) = ½ - 1/2² (X-1) + 1/2³(X-1)² - 1/2⁴ (X-1)³ + 1/2⁵ (X-1)⁴-..

- Esercizio 2

Trova il raggio di convergenza della serie precedente

Soluzione

Scriviamo il termine n-eme e il termine n-alkaus di più:

Calcoliamo il quoziente di questi due termini che è mostrato di seguito semplificato:

Il valore assoluto dell'espressione precedente viene preso ottenendo:

| X - 1 | / 2

Tuttavia, affinché la serie sia convergente, è necessario che l'importo precedente sia strettamente inferiore all'unità, cioè:

| X - 1 | < 2

Che indica che il raggio di convergenza attorno al valore x = 1 è:

R = 1

D'altra parte, l'espressione precedente è equivalente a raddoppiare la disuguaglianza:

-2 < x - 1 < +2

Se aggiungiamo +1 a ciascuno dei tre membri dell'espressione precedente, si ottiene:

-1 < x < 3

Che è l'intervallo di convergenza della serie.

La Figura 1 mostra la funzione originale e la serie Taylor di detta funzione attorno al punto x = 1. Nella figura si può verificare che la serie coincida con la funzione in un ambiente del punto x = 1, ma all'interno del raggio di convergenza.

Riferimenti

1. Fondazione CK-12. Serie di potenza: rappresentazione di funzioni e operazioni. Recuperato da: CK12.org.
2. Engler, a. 2019. Calcolo integrale. Università nazionale della costa.
3. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
4. Testi matematici gratuiti. Serie di potenza. Recuperato da: matematica.LiiBreTexts.org.
5. Wikipedia. Serie di potenza. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
6. Wikipedia. Raggio di convergenza. Recuperato da: in.Wikipedia.org