Matematica

Proprietà limite (con esempi)

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Zelida Gatti

IL Limitare le proprietà Sono l'insieme di regole e procedure algebriche utilizzate per determinarle. Il concetto di limite è essenziale per il calcolo e trovarne il valore non deve essere un compito complicato, a condizione che le sue proprietà siano gestite con facilità.

Di seguito è riportato un elenco dei più importanti, accompagnati da esempi di applicazioni.

I limiti e le sue proprietà sono la base del calcolo. Un limite molto speciale è mostrato nella figura: il derivato di una funzione f (x)

Lascia che B, C, N, A e B numeri reali e F E G Tali funzioni che verificano quanto segue:

$\lim_x\rightarrow cf(x)=A$
$\lim_x\rightarrow cg(x)=B$

Quindi hai le seguenti proprietà:

1. Limite di sostituzione diretta

In prima istanza, il limite di una funzione f quando x → C può essere calcolato direttamente in sostituzione di x = c nella funzione. Se la funzione esiste su x = c, allora il limite è:

$\lim_x \rightarrow c f(x)=f(c)$ Ma non necessariamente la funzione deve essere definita su x = c in modo che il limite esista. L'idea è di avvicinarsi tanto quanto vuoi al valore di x = c e vedere cosa succede con la funzione in quel caso.

Esempio

Trova il limite di f (x) = x² Quando x → 4

Soluzione

Il limite risolve semplicemente sostituendo x = 4 in f (x) = x², Dal momento che non vi è alcun inconveniente nell'esecuzione dell'operazione:

$\lim_x\rightarrow 4x^2=4^2=16$ 2. Unicità del limite

Se il limite di una funzione f (x) quando x → C esiste e vale L, detto limite è unico.

Pertanto, i limiti laterali, che sono quelli quando x → C^- (Leggi "X tende a C da sinistra") e quando x → C⁺(Recita "x tende a c a destra"), entrambi esistono e hanno lo stesso valore L, anche se la funzione non è definita in x = c.

In questa animazione viene presentato il concetto di limite: quando x tende a un certo valore C, avvicinandosi sia a sinistra che a destra, il valore della funzione tende a l. Non necessariamente la funzione è definita in x = c. Fonte: Wikimedia Commons.

Nell'animazione si osserva questo approccio e ciò che accade con la funzione in quel caso: se si sta avvicinando a sinistra e a destra a x = c, il valore della funzione a sua volta è vicino a L.

Può servirti: quadrati minimi

Matematicamente esprime in questo modo:

$\lim_x\rightarrow c^-f(x)=\lim_x\rightarrow c^+f(x)=\lim_x\rightarrow cf(x)=L$ I limiti laterali consentono di sapere quando esiste o meno un limite, perché se non esistono o se differiscono, è certo che il limite della funzione quando x → C non esiste.

Esempio

Calcola il limite di f (x) quando x → 1 se esiste, dove f (x) è dato da:

Soluzione

Questa è una funzione per parti o definita a pezzi, che consiste nella riga 4 -x per i valori di x < 1 y en la parábola 4 - x² Quando x è uguale a 1 o superiore a 1.

Possiamo avvicinarsi a x = 1 da sinistra, in questo caso viene presa la parte della funzione valida per x<1:

Poiché i limiti laterali sono gli stessi, ne consegue che il limite della funzione quando esiste x → 1 e vale 3.

3. Costante

Il limite di una costante è il valore di detto costante, indipendentemente dal valore a cui tende la variabile:

$\lim_x\rightarrow cb=b .$

Esempio

Calcolare:

$\lim_x\rightarrow 1\pi$ Soluzione

$\lim_x\rightarrow 1\pi= \pi$

4. Limite di funzione di identità

Se f (x) = x, è sempre soddisfatto:

$\lim_x\rightarrow cx=c$

Esempio

Calcolare:

$\lim_x\rightarrow 2x$ Soluzione

$\lim_x\rightarrow 2x=2$

5. Limite di prodotto di una costante per una funzione

In questo caso, la costante esce dal limite e si muove per moltiplicarlo, in questo modo:

$\lim_x\rightarrow c\left [b\cdot f(x) \right ]=b\cdot \lim_x\rightarrow c f(x)=b\cdot A$ Esempio

Calcola, se esiste, il seguente limite:

$\lim_x\rightarrow -2\left [5\cdot x^3 \right ]$ Soluzione

La costante 5 è al di fuori della moltiplicazione del limite e viene applicata la proprietà di sostituzione:

$\lim_x\rightarrow -2\left [5\cdot x^3 \right ]=5\cdot \lim_x\rightarrow -2 x^3=5\cdot (-2)^3=-40$

6. Limite di somma

Il limite della somma di due funzioni F E G È la somma dei limiti:

$\lim_x\rightarrow c\left [ f(x)+g(x) \right ]=\lim_x\rightarrow c f(x)+\lim_x\rightarrow cg(x)=A+B$

Esempio

Trova il seguente limite se esiste:

Può servirti: set teoria: caratteristiche, elementi, esempi, esercizi

$\lim_\theta \rightarrow \pi \left [cos\:\theta +sen\: \theta \right ]$ Soluzione

La proprietà della somma dei limiti viene prima applicata e poi quella della sostituzione diretta, poiché le operazioni non presentano difficoltà:

$\lim_\theta \rightarrow \pi \left [cos\:\theta +sen\: \theta \right ] = \lim_\theta \rightarrow \pi cos\: \: \theta + \lim_\theta \rightarrow \pisen\: \: \theta=cos\: \pi +sen\: \pi =-1$

7. Limite di sottrazione

Nel caso del limite della sottrazione di due funzioni, procedere in modo analogo che per la somma: il limite della sottrazione è la sottrazione dei limiti:

$\lim_x\rightarrow c \left [f(x) - g(x) \right ]=A-B$

Esempio

Calcola il seguente limite:

$\lim_x \rightarrow 0 [sec\: x - e^x ]$ Soluzione

Viene applicata la proprietà del limite di sottrazione di due funzioni e quindi la sostituzione diretta, poiché tutte le operazioni possono essere eseguite senza problemi:

$\lim_x \rightarrow 0 [sec\: x - e^x ]=\lim_x \rightarrow 0 sec\: x -\lim_x \rightarrow 0 e^x = sec\: 0-e^0=1-1=0$

8. Limite di prodotto

Il limite del prodotto di due funzioni F E G È il prodotto dei limiti:

$\lim_x \rightarrow c [f(x)\cdot g(x) ]=\lim_x \rightarrow c f(x) \cdot \lim_x \rightarrow c g(x) = A\cdot B$ Esempio

Calcola questo limite:

$\lim_x \rightarrow 0 cos\: x\cdot (1-x^2^)$

Soluzione

$\lim_x \rightarrow 0 cos\: x\cdot (1-x^2^)=\lim_x \rightarrow 0 cos\: x\cdot \lim_x \rightarrow 0 (1-x^2^)=cos\: 0\cdot (1-0^2)=1$

9. Rapporto tra quoziente

Il limite del rapporto tra due funzioni F E G È il quoziente dei limiti, a condizione che il limite di G (x) quando x → C sia diverso da 0, poiché la divisione di 0 non è definita. COSÌ:

$\lim_x \rightarrow c \left [ \fracf(x)g(x) \right ]=\frac\lim_x \rightarrow c f(x)\lim_x \rightarrow c g(x)=\fracAB; \: \: \textupcon\: B\neq 0$

Esempio

Calcola, se esiste, il valore del seguente limite:

$\lim_x \rightarrow -3 \left [ \frac2x-6x^2+5 \right ]$ Soluzione

In primo luogo viene applicata la proprietà del limite di proprietà, per ottenere il quoziente dei limiti:

$\lim_x \rightarrow -3 \left [ \frac2x-6x^2+5 \right ]=\frac\lim_x \rightarrow -3 2x-6\lim_x \rightarrow -3 x^2+5$

La proprietà di sostituzione viene ora applicata per trovare ogni limite:

$\lim_x \rightarrow -3 2x-6=2\cdot (-3)-6=-12$ $\lim_x \rightarrow -3 x^2+5= (-3)^2+5=14$

E poiché B ≠ 0, il limite richiesto è il quoziente A/B:

$\lim_x \rightarrow -3 \frac2x-6x^2+5=\frac-1214=\frac-67$

10. Limite

Il limite di un potere di esponente n, è equivalente al limite aumentato a detto potere, come segue:

$\lim_x \rightarrow c \left [f(x) \right ]^n=\left [\lim_x \rightarrow c f(x) \right ]^^n$ Caso 1: limite di una potenza X

Se hai, ad esempio, il limite di una potenza X, risultati:

$\lim_x \rightarrow c x^n=\left [\lim_x \rightarrow c x \right ]^n$

Secondo la proprietà 4, questo limite è:

Può servirti: analogie numeriche: tipi, applicazioni ed esercizi

$\lim_x \rightarrow c x^n=c^n$

Caso 2: limite di radice

Una radice n-questa può essere scritta sotto forma di un esponente frazionario, quindi:

$\lim_x \rightarrow c \sqrt[n]f(x)=\sqrt[n]\lim_x \rightarrow c f(x)$

Importante: Se l'indice di radice è uniforme, è necessario che il limite di f (x) quando x → c sia maggiore o uguale a 0, poiché non ci sono coppie reali di importi negativi.

Esempi

Determinare, applicare le proprietà precedenti, i seguenti limiti se esistono:

$a)\: \lim_x \rightarrow -2 (x+5)^^3$

$b)\: \lim_x \rightarrow 3 \sqrt2x-1$

Soluzione a

Per proprietà del limite di un potere e della sostituzione diretta si ottiene:

$\lim_x \rightarrow -2 (x+5)^^3= \left [\lim_x \rightarrow -2 (x+5) \right ]^3=(-2+5)^3=27$

Soluzione b

$\lim_x \rightarrow 3 \sqrt2x-1=\sqrt\lim_x \rightarrow 3 \left (2x-1 \right )=\sqrt(2\cdot 3-1)=\sqrt5$

undici. Limite

Per trovare il limite di una base esponenziale B ed esponente F (x), la base della funzione della funzione f (x) deve essere sollevata come segue:

$\lim_x \rightarrow c \left [b^f(x) \right ]=b^\lim_x \rightarrow cf(x)$

Esempio

Trova se c'è il seguente limite:

$\lim_x \rightarrow 1 \left [e^x^^2 \right ]$ Soluzione

In questo limite la base è il numero E e la funzione f (x) = x², Pertanto è necessario prima calcolare il limite X² Quando x tende a 1:

$\lim_x \rightarrow 1 x^2=1^^2=1$

Quindi viene applicata la proprietà del limite esponenziale:

$\lim_x \rightarrow 1 e^^x^2=e^^1=e$

12. Limite di funzione potenziale esponenziale

Il limite quando x → C di una funzione f (x), che a sua volta è elevato a un'altra funzione g (x) è espresso da:

$\lim_x \rightarrow c \left [f(x)^g(x) \right ]=\left [\lim_x \rightarrow c f(x) \right ]^\lim_x \rightarrow c g(x)$

Esempio

Calcola il seguente limite, se esiste:

$\lim_x \rightarrow -1 (x-1)^^2x$

Soluzione

Per applicare la proprietà precedente, vengono prima identificati f (x) = x-1 e g (x) = 2x e quindi vengono calcolati i rispettivi limiti:

$\lim_x \rightarrow -1 (x-1)=-1-1=-2$

$\lim_x \rightarrow -1 2x=2\cdot (-1)=-2$ Finalmente:

$\lim_x \rightarrow -1 (x-1)^2x=\left [\lim_x \rightarrow -1 (x-1) \right ]^\lim_x \rightarrow -1 2x=(-2)^-2=\left (\frac1-2 \right )^2=\frac14$ Riferimenti

Ayres, f. 2000. Calcolo. 5ed. Mc Graw Hill.
Leithold, l. 1992. Calcolo con geometria analitica. Harla, s.A.
Testi matematici gratuiti. Limiti. Recuperato da: matematica.LiiBreTexts.org.
Mathemovil. Leggi e proprietà limite. Recuperato da: Matemovil.com.
Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. E. (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
Formule universe. Limitare le proprietà. Recuperato da: Universoformulas.com

Proprietà limite (con esempi)

1. Limite di sostituzione diretta

Esempio

Soluzione

2. Unicità del limite

Esempio

Soluzione

3. Costante

Esempio

Soluzione

4. Limite di funzione di identità

Esempio

Soluzione

5. Limite di prodotto di una costante per una funzione

Esempio

Soluzione

6. Limite di somma

Esempio

Soluzione

7. Limite di sottrazione

Esempio

Soluzione

8. Limite di prodotto

Esempio

Soluzione

9. Rapporto tra quoziente

Esempio

Soluzione

10. Limite

Caso 1: limite di una potenza X

Caso 2: limite di radice

Esempi

Soluzione a

Soluzione b

undici. Limite

Esempio

Soluzione

12. Limite di funzione potenziale esponenziale

Esempio

Soluzione

Riferimenti

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$\lim_x\rightarrow 4x^2=4^2=16$ 2. Unicità del limite

$\lim_x\rightarrow 1\pi$ Soluzione

$\lim_x\rightarrow 2x$ Soluzione

$\lim_x\rightarrow c\left [b\cdot f(x) \right ]=b\cdot \lim_x\rightarrow c f(x)=b\cdot A$ Esempio

$\lim_x\rightarrow -2\left [5\cdot x^3 \right ]$ Soluzione

$\lim_\theta \rightarrow \pi \left [cos\:\theta +sen\: \theta \right ]$ Soluzione

$\lim_x \rightarrow 0 [sec\: x - e^x ]$ Soluzione

$\lim_x \rightarrow c [f(x)\cdot g(x) ]=\lim_x \rightarrow c f(x) \cdot \lim_x \rightarrow c g(x) = A\cdot B$ Esempio

$\lim_x \rightarrow -3 \left [ \frac2x-6x^2+5 \right ]$ Soluzione

$\lim_x \rightarrow c \left [f(x) \right ]^n=\left [\lim_x \rightarrow c f(x) \right ]^^n$ Caso 1: limite di una potenza X

$\lim_x \rightarrow 1 \left [e^x^^2 \right ]$ Soluzione

$\lim_x \rightarrow -1 (x-1)^2x=\left [\lim_x \rightarrow -1 (x-1) \right ]^\lim_x \rightarrow -1 2x=(-2)^-2=\left (\frac1-2 \right )^2=\frac14$ Riferimenti