Pentadecágono elementi, classificazione, caratteristiche, esercizio fisico

UN PentadecAntagon È una figura piatta costruita con quindici segmenti dritti e chiuso. Questo tipo di figure sono chiamate poligono e sono nominati in base alla quantità di lati che hanno.

Il triangolo, con tre lati e il quadrilatero, di quattro, sono esempi di poligoni molto familiari, ma i poligoni possono avere più lati.

Figura 1.  Pentagono regolare con vertici rossi. Fonte: Wikimedia Commons.

Gli elementi di base del pentadecágono sono gli stessi di qualsiasi poligono, indipendentemente dalla quantità di lati che possiede. Questi elementi sono:

-Lati, che sono i segmenti che compongono il pentadecágono per un totale di 15.

-Vertici, anche 15, che sono le estremità dei lati adiacenti.

-Angoli interni, Quelli che si formano all'interno del pentadecágono tra due lati adiacenti.

-Angoli esterni, formato tra un lato e il prolungamento di uno dei lati consecutivi.

-Diagonali, I segmenti di linea che si uniscono a due vertici non adiacenti.

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Classificazione

Può essere un pentadecágono regolare O irregolare, a seconda delle dimensioni dei loro lati e della misura dei suoi angoli interni. Se hai tutti i lati e gli angoli interni uguali -quilátero ed equiangle, è regolare, come mostrato nella Figura 1, altrimenti è irregolare.

Può anche essere classificato come convesso O concavo. Un pentagono concavo ha uno o più angoli interni superiori a 180º, mentre uno convesso ha angoli interni inferiori a 180º. Il pentagono normale è convesso.

Un altro criterio di classificazione è considerato se i suoi lati non corsi - o le loro estensioni - sono tagliati o no. Quando non vengono tagliati, come nel caso della Figura 1, si dice che sia un semplice pentadecágon. E se sono tagliati, allora è complesso.

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Il normale Pentagono

Il pentagono regolare, i cui lati e gli angoli interni hanno la stessa misura, è una figura di grande simmetria, perché i seguenti elementi aggiuntivi sono definiti a quelli precedentemente descritti:

-Centro: Il punto che equidista dei vertici e dei lati.

-Radio: La distanza dal centro a uno dei normali vertici del Pentagono.

-Angolo centrale: Colui che ha il suo vertice al centro della figura e dei suoi lati attraversa due vertici adiacenti.

-Apotema, È il segmento perpendicolare che si unisce al centro di un lato con il centro della figura.

figura 2. Centro, Apothem, radio e angoli notevoli di un Pentadecágono. Fonte: Wikimedia Commons/F. Zapata.

- Caratteristiche del normale Pentagono

Angoli interni

La seguente formula viene utilizzata per calcolare la misura I degli angoli interni di qualsiasi poligono normale, dove N È il numero di lati:

In questa formula, la misura I arriva in gradi, per esprimerla in radianti, viene moltiplicata per il fattore π/180. Vediamo qual è la misura degli angoli interni del normale Pentagono, sostituendo n = 15:

I = [(15-2) × 180º]/15 = 156º

Equivalente a 13π/15 radianti. Poiché gli angoli interni del normale Pentagono sono inferiori a 180º, è un poligono convesso.

Somma degli angoli interni

È possibile calcolare la somma degli angoli interni con la seguente formula:

S = (n-2) x 180º

Come sempre, n rappresenta il numero di lati. Questa formula è valida per n = 3, 4, 5 .. .

Facendo n = 15 otteniamo:

S = (15 - 2) x 180º = 2340º

Angoli esterni

Un angolo interno e un angolo esterno sono supplementari, cioè la sua somma è di 180º, come notato nella Figura 2. Pertanto un angolo esterno delle misure di Pentadecágono:

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180 º - 156º = 24º.

Perimetro e area

Il perimetro è la misura del contorno del poligono e sta facilmente aggiungendo tutti i lati. Sì A È la lunghezza del lato, è sufficiente per moltiplicare N, Il numero di lati.

Per un normale Pentagono di lato A, il perimetro P è:

P = 15a

Se si tratta di una figura irregolare, in cui differisce la misura dei lati, il perimetro sta aggiungendo la lunghezza di tutti i suoi lati.

Per quanto riguarda l'area, possiamo calcolarlo in diversi modi. Ad esempio, abbiamo la formula che ti consente di ottenerla conoscendo la lunghezza A dei suoi lati:

Eseguendo le operazioni indicate, rimane approssimativamente:

A = 17.6426⋅A²

C'è un'altra opzione, applicabile ai poligoni regolari. Si tratta di dividerli in triangoli di base pari al poligono. L'altezza del triangolo è la lunghezza di Apothem l_A, definito sopra.

L'area di detto triangolo è calcolata con la formula ben nota: Base X altezza /2. In questo modo l'area del triangolo singolo è:

Area = a. L_A /2

Per avere l'area totale del poligono, è sufficiente moltiplicare per il numero di lati N, che in questo caso è 15:

A = 15⋅a⋅ l_A /2

E poiché il perimetro della figura è p = 15⋅a, quindi:

A = p⋅ l_A /2

Diagonali

Le diagonali sono i segmenti che uniscono due vertici non corsi, come indicato sopra. Sapere quante diagonali ha un poligono regolare di N Lati, tra cui Pentadecágono, c'è la seguente formula:

Dove d è il numero di diagonali.

Ora sostituiamo n = 15, per ottenere le diagonali totali:

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D = [15 × (15-3)]/2 = 90 diagonali.

Costruzione con regola e bussola

Pentadecágono è costruito con regola e bussola a partire da una circonferenza. Il 360º deve essere diviso in 15 parti uguali di 24º ciascuna. Innanzitutto le costruzioni ausiliarie indicate nell'animazione vengono eseguite per ottenere un angolo di 60º, che è diviso a turno in 36º e 24º.

Figura 3. Costruzione con regola e bussola di un normale Pentagono. Fonte: Wikimedia Commons.

Esercizio risolto

Se il perimetro di un pentadecágono registrato in un cerchio di raggio r è 12,56 cm. Calcolare:

a) La radio.

b) la tua zona.

Figura 4. Pentadecágono: angolo centrale, angolo interno e apothema. Fonte: Wikimedia Commons/F. Zapata.

Soluzione a

Il perimetro è p = 15⋅a = 12.56 cm, quindi il lato di pentadecágono è 0.8373 cm. La radio Possiamo calcolarlo con l'aiuto di uno dei triangoli nella Figura 4.

L'Apothem l_A corrisponde all'altezza del triangolo, disegnato in rosso, che divide l'angolo di 24º in due angoli di 12º ciascuno.

Esistono due triangoli giusti con un angolo interno di 12º ciascuno, e per ognuno di essi possiamo applicare la trigonometria per trovare l'ipotenusa, che è la lunghezza r del raggio.

Da questa parte:

Sen 12º = (A /2) /R

R = (a /2) /sen 12º = (0.8373 cm / 2) / Sen12º = 2.01 cm.

Soluzione b

Possiamo calcolare l'area di Pentadecágono usando la formula:

A = p⋅ l_A /2

Conosciamo già il perimetro p = 12.56 cm e la lunghezza di Apothem è calcolata dalla tangente o dal coseno a 12º:

Cos 12º = l_A / R

L_A = R. cos 12 º = 2.01 cm. cos 12 º = 1.97 cm

Sostituzione:

A = 12.56 cm⋅ 1.97 cm /2 = 12.35 cm²

Riferimenti

1. Alexander, d. 2013. Geometria. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
2. Impara la matematica. Figure geometriche. Recuperato da: Rodrigoanchorena.Wixsite.com.
3. Sangaku maths. Elementi di un poligono e la sua classificazione. Recuperato da: Sangakoo.com.
4. Wikipedia. Pentadecágono. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Wolfram Math World. Pentadecagon. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.