Coppia ordinata

Cos'è una coppia ordinata?

Una coppia ordinata o duo È un insieme di due elementi che sono scritti secondo l'ordine stabilito da un determinato criterio. Detti criteri specifica quale dei due elementi va prima e quale si insegue.

La coppia ordinata è indicata come (x, y), dove "x" è il primo elemento della coppia e "y" è il secondo, chiamato anche Componenti. In generale (x, y) non è la stessa coppia ordinata (y, x). E oltre all'ordine, un'altra caratteristica importante delle coppie ordinate è l'uguaglianza: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono le stesse solo se a = c e b = d.

Figura 1.- Grazie alle coppie ordinate, il cucciolo sa che le ossa sono sepolte nelle posizioni (3,1) e (-4,2), mentre la sua casa è in (0,0). Fonte: f. Zapata.

Esempi di coppie ordinate sarebbero quelli composti dall'età e il peso di un corso di studenti di matematica. La coppia ordinata (15, 62) corrisponde a uno studente di 15 anni, diverso dalla coppia improbabile (62,15).

Il concetto di coppia ordinata è molto importante in varie aree della matematica, come il piano cartesiano, le frazioni, i vettori del piano, le relazioni e le funzioni. Un aspetto importante è che i loro elementi non hanno necessariamente numerici, ad esempio, possono essere ordinati con:

• Città di Campagna
• Nome Cognome
• Moglie marito

E molte altre combinazioni.

Esempi di coppie ordinate

Frazioni

Una frazione è rappresentata come il quoziente di due numeri interi P/Q, ad esempio la frazione ½, che è equivalente al numero decimale 0.5.

Tuttavia, questa frazione non è l'unica che rappresenta il decimale 0.5, anche quanto segue:

2/4; 3/6; (-2)/(-4); 20/40; (-1)/(-2) ..

In questo modo, qualsiasi frazione può essere rappresentata come una coppia ordinata (P, Q), dove P e Q sono interi, con P che occupa la posizione del numeratore e Q quella del denominatore. C'è una restrizione importante e che Q (il denominatore) deve essere diverso da 0, poiché le frazioni del modulo p/0 non sono definite.

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E un'altra condizione importante è che due frazioni A/B e C/D sono uguali fintanto che è soddisfatto:

A ∙ d = b ∙ c

Funzioni e suoi grafici

Una funzione può essere espressa come un insieme di coppie ordinate. Ad esempio, graficando una funzione nel piano cartesiano, al primo elemento viene assegnata la posizione della variabile indipendente, mentre al secondo viene assegnata la variabile dipendente. Questa è una coppia ordinata.

Per la funzione y = f (x), la coppia ordinata può essere espressa come [x, f (x)]]. Ad esempio, considera il set di partenza:

A = 1, 2, 3, 4

In questo set ci sono i primi componenti di una coppia ordinata secondo la funzione y = x². L'insieme dei secondi componenti è:

B = 1, 4, 9, 16

E le coppie ordinate sono formate sono:

(1,1); (2,4); (3, 9); (4; 16)

Considerare.

Vettori nel piano

I vettori possono essere rappresentati nel piano cartesiano da coppie ordinate, in cui il primo elemento rappresenta il componente orizzontale "x" e il secondo il componente verticale "y". Per distinguere i vettori dai punti del piano, sono indicati da lettere audaci e vengono utilizzate le parentesi quadrate al posto delle parentesi, in questo modo:

v =

Ad esempio, il vettore v = ha un componente orizzontale pari a 4 e componente verticale uguale a 7. Il suo grafico è:

figura 2.- Un vettore piano può essere espresso tramite una coppia ordinata. Fonte: f. Zapata.

Si noti che questo vettore ha la sua origine in coincidenza con l'origine del sistema di coordinate (0,0). Se il vettore ha la sua origine in qualsiasi altro punto, può anche essere espresso sotto forma di una coppia ordinata attraverso una coppia ordinata, per farlo vedere le seguenti sezioni.

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Ordinate operazioni di Pares

Aggiunta

Lascia che gli obiettivi (a, b) e (c, d) siano coppie (d). Una nuova coppia si ottiene per mezzo della sua somma secondo:

(A, B)+(C, D) = (A+C, B+D)

Elemento neutro

L'elemento neutro dell'aggiunta di coppie ordinate è la coppia (0,0), poiché quando si aggiunge alla coppia ordinata (a, b), la somma è quest'ultima:

(a, b) + (0,0) = (a, b)

Somma del contrario

Aggiungendo una coppia ordinata (a, b) con la sua opposta (-a, -b) si ottiene la coppia ordinata (0,0):

(a, b) + (-a, -b) = (0,0)

Commutatività

L'ordine delle aggiunte non modifica la somma:

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

Associatività

Il risultato dell'aggiunta di tre coppie ordinate non viene modificato quando raggruppati per eseguire l'operazione:

[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]

Sottrazione di coppie ordinate

Lascia che gli obiettivi (a, b) e (c, d) siano, la sottrazione viene eseguita come segue:

(A, B)-(C, D) = (A-C, B-D)

Prodotto

Nel prodotto ci sono due opzioni: i) Moltiplica una coppia ordinata per una costante e ii) moltiplicare due (o più) gommi.

Moltiplicazione per una costante

Sia K una costante e la coppia ordinata (a, b), il prodotto tra la costante e la coppia è:

K ∙ (a, b) = (k ∙ a, k ∙ b)

Moltiplicazione di coppie ordinate

Il prodotto tra le coppie ordinate (a, b) e (c, d) viene eseguito come segue:

(a, b) x (c, d) = (ac - bd, bc+ad)

Elemento neutro

L'elemento neutro della moltiplicazione è (1.0), poiché moltiplicando qualsiasi coppia ordinata da questo, seguendo la regola della moltiplicazione sopra descritta, la coppia originale è:

(a, b) x (1.0) = (a - 0, b + 0) = (a, b)

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Associatività

Poiché l'ordine dei fattori non altera il prodotto, può essere raggruppato in modi diversi per moltiplicare tre o più coppie ordinate e il risultato è lo stesso:

[(a, b) x (c, d)] x (e, f) = (a, b) x [(c, d) x (e, f)]

Esercizi risolti

Esercizio 1

Hai ordinato coppie (x², X-2) = (16, 2). Che è il valore di x?

Soluzione

L'applicazione dell'uguaglianza delle coppie ordinate si ottiene per prime:

X² = 16 ⇒ x₁ = 4, x₂ = -4

Per sapere quale dei due valori scelgono, uso di:

X-2 = 2

x = 2 + 2 = 4

Pertanto, il valore richiesto di X è 4.

Esercizio 2

Esprimere come una coppia ordinata il vettore che passa dal punto (1, 3) al punto (7, 11) e lo rappresenta graficamente.

Soluzione

Essere v Il vettore ha cercato. Per determinare la coppia ordinata che la rappresenta e che contiene le sue coordinate, le coordinate del punto di arrivo e il punto di origine vengono sottratte, in quell'ordine. COSÌ:

v = =

Il vettore viene quindi rappresentato v come quello che passa da (1.3) a (7, 11) e l'attrezzatura v la cui origine è fissata all'origine del sistema di coordinate (0,0). Come puoi vedere, hanno la stessa direzione e significato.

Figura 3. Rappresentazione di un vettore come coppia ordinata. Fonte: f. Zapata.

Riferimenti

1. Profondo. Coppia ordinata. Recuperato da: Deepai.org.
2. Mathemovil. Rappresentazione cartesiana di un vettore da parte di una coppia ordinata. Recuperato da: Matemovil.com.
3. Tutor varsity. Coppia ordinata. Estratto da: WarsityTorm.com
4. PRIESSI, JUAN. Relazioni e funzioni. facoltà di Ingegneria. Dipartimento di Matematica. Università di Buenos Aires. Estratto da: soggetti.fi.Uba.ar.
5. Università di Denver. Relazioni. Recuperato da: matematica.Ucdenver.Edu.