Onde unidimensionali espressione matematica ed esempi

IL Onde unidimensionali Sono quelli che si propagano in una direzione indipendentemente dal fatto che si verifichino o meno la vibrazione nella stessa direzione di propagazione. Un buon esempio di loro è l'onda che si muove lungo una corda tesa come quella di una chitarra.

In un'onda piatta attraverso, Le particelle vibrano verticalmente (si arrampicano e scendono, vedono la freccia rossa nella Figura 1), ma è un dimensionale perché il disturbo viaggia in una direzione, seguendo la freccia gialla.

Figura 1: l'immagine rappresenta un'onda monodimensionale. Si noti che creste e valli formano linee parallele tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione. Fonte: sé realizzato.

Le onde unidimensionali appaiono abbastanza frequentemente nella vita di tutti i giorni. La sezione seguente ne descrive alcuni esempi e anche di onde che non sono unidimensionali, per stabilire chiaramente le differenze.

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Esempi di onde unidimensionali e onde non unidimensionali

Onde unidimensionali

Questi sono alcuni esempi di onde un dimensionali che possono essere facilmente osservate:

- Un impulso audio che viaggia attraverso una barra dritta, poiché è un disturbo che si diffonde in tutta la barra.

- Un'onda che viaggia attraverso un canale d'acqua, anche quando lo spostamento della superficie dell'acqua non è parallelo al canale.

- Le onde che si diffondono su una superficie o attraverso lo spazio tridimensionale possono anche essere una dimensione, a condizione che i loro fronti d'onda siano piani paralleli e viaggiano in una direzione.

Onde non dimensionali

Un esempio di un'onda non dimensionale si trova nelle onde che si formano su una superficie di acqua fissa quando viene lasciata cadere una pietra. È una parte anteriore a due onde a due dimensioni dell'onda cilindrica.

Può servirti: braccio a levafigura 2. L'immagine rappresenta un esempio di ciò che non è un'onda monodimensionale. Si noti che le creste e le valli formano cerchi e la direzione della propagazione è radiale verso l'esterno, è quindi un'onda circolare bidimensionale. Fonte: Pixabay.

Un altro esempio di onda dimensionale non sindacale è l'onda sonora che genera un petardo per esplosione a una certa altezza. Questa è un'onda a tre dimensioni con fronti d'onda sferici.

Espressione matematica di un'onda monodimensionale

Il modo più generale di esprimere un'onda unidimensionale che si diffonde senza attenuazione nella direzione positiva dell'asse X e con velocità v È matematicamente:

e (x, t) = f (x - v.T)

In questa espressione E rappresenta il disturbo nella posizione X Immediatamente T. La forma d'onda è data dalla funzione F. Ad esempio, la funzione d'onda mostrata nella Figura 1 è:  e (x, t) = cos (x - v t) e l'immagine dell'onda corrisponde al momento t = 0.

È chiamata un'onda come questa, descritta da una funzione coseno o seno onda armonica. Sebbene non sia l'unica forma d'onda che esiste, è della massima importanza, perché qualsiasi altra ondata può essere rappresentata come una sovrapposizione o una somma di onde armoniche. È il conoscente Teorema di Fourier, Così usato per descrivere segnali di ogni tipo.

Quando l'onda viaggia nella direzione negativa dell'asse x, cambia semplicemente v di -v In discussione, essere:

e (x, t) = g (x + v t)

La Figura 3 mostra l'animazione di un'onda che viaggia a sinistra: è una forma chiamata funzione Lorentziana e lei L'espressione matematica è:

Può servirti: lavoro: formula, unità, esempi, esercizi

e (x, t) = 1 / (1 + (x + 1⋅T)²

In questo esempio, la velocità della propagazione è v = 1, -Un'unità di spazio per ogni unità di tempo-.

Figura 3. Esempio di un'onda lorentziana che viaggia rapidamente a sinistra v = 1. Fonte: preparato da F. Zapata con geogebra.

Equazione delle onde unidimensionali

L'equazione delle onde è un'equazione in derivati ​​parziali, la cui soluzione è ovviamente un'onda. Stabilisce la relazione matematica tra la parte spaziale e la sua parte temporale e ha la forma:

La soluzione, che è precisamente la funzione y (x, t), può essere verificata mediante sostituzione e sviluppo in questa equazione. Ad esempio, le funzioni f (x - v t)  E  G (X + VT)  menzionato, sono soluzioni di equazione delle onde.

Esempio risolto

Quindi hai l'espressione generale y (x, t) per un'onda armonica:

e (x, t) = a⋅cos (k⋅X ± ω⋅t + θo)

a) Descrivi il significato fisico dei parametri A, k, ω E θo.

b) quali significato hanno i segni ± sull'argomento del coseno?

c) verificare che l'espressione data sia effettivamente la soluzione dell'equazione d'onda della sezione precedente e trova la velocità v di propagazione.

Soluzione a)

Le caratteristiche dell'onda sono nei seguenti parametri:

-A rappresenta il ampiezza o "altezza delle onde".

-K è dentro Numero d'onda Ed è correlato alla lunghezza d'onda λ Attraverso K = 2π/ λ.

-Ω È fEspansione angolare Ed è correlato al file periodo T oscillazione delle onde di

Ω = 2π/ t.

-θo È il fase iniziale, che è correlato al punto di partenza dell'onda.

Può servirti: attrito statico: coefficiente, esempio, esercizio fisico

Soluzione B)

Viene preso il segno negativo se l'onda viaggia nella direzione positiva dell'asse x e il segno positivo altrimenti.

Soluzione C)

Verificare che l'espressione data sia una soluzione all'equazione delle onde è semplice: viene presa la derivata parziale della funzione e (x, t) Per quanto riguarda X due volte, è parzialmente derivato da T due volte e quindi entrambi i risultati si incontrano per ottenere l'uguaglianza:

Secondo derivato da x: ∂²e/ ∂x²= -K². A⋅cos (k⋅X ± ω⋅t + θo)

Secondo derivato da t: ∂²e/ ∂t²= -Ω². A⋅cos (k⋅X ± ω⋅t + θo)

Questi risultati sono sostituiti nell'equazione delle onde:

 -K². A⋅cos (k⋅X ± ω⋅t + θo) = (1/v²) (-Ω². A⋅cos (k⋅X ± ω⋅t + θo))

Tanto A Poiché il coseno è semplificato, poiché appaiono su entrambi i lati dell'uguaglianza e l'argomento del coseno è lo stesso, quindi l'espressione è ridotta a:

-K² = (1/v²) (-Ω²)

Che consente di ottenere un'equazione a v in termini di Ω E K:

v² = Ω² / K²

v = ± Ω / k

Riferimenti

1. E-educativo. Equazione di onde armoniche unidimensionali. Recuperato da: e-tucAtive.Cathedu.È
2. Il Rincón della fisica. Classi d'onda. Estratto da: fisica.Blogspot.com.
3. Figueroa, d. 2006. Onde e fisica quantistica. Serie: Physics for Science and Engineering. A cura di Douglas Figueroa. Università di Simon Bolivar. Caracas Venezuela.
4. Physics Lab. Moto ondoso. Recuperato da: Fisicab.com.
5. Peirce, a. Lecture 21: l'equazione dell'onda a una dimensione: la soluzione di D'Alembert. Estratto da: UBC.AC.
6. Equazione delle onde. Recuperato da: in.Wikipedia.com