Formule di onde stazionarie, caratteristiche, tipi, esempi

IL onde in piedi Sono onde che si diffondono in una metà limitata, andando e arrivando in una parte dello spazio, a differenza delle onde in viaggio, che quando si propagano si allontanano dalla fonte che li ha originati e non torna ad esso.

Sono la base dei suoni prodotti negli strumenti musicali, poiché si presentano facilmente sulle stringhe fisse, a una delle sue estremità o entrambe. Sono anche creati in membrane tese come tamburi o tubi interni e strutture come ponti ed edifici.

Animazione di un'onda stazionaria (rossa) creata dalla sovrapposizione di un'onda sinistra (blu) e destra (verde). Fonte: LookangMany grazie all'autore di Original Simulation = Wolfgang Christian e Francisco Schembre Autore di Easy Java Simulation = Francisco Schembre/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)

Quando si dispone di una corda fissa ad entrambe le estremità, come una chitarra, ad esempio, le onde vengono create con ampiezza e frequenza identiche, che viaggiano in sensi opposti e si combinano producendo un fenomeno chiamato interferenza.

Se le onde sono in fase, le creste e le valli sono allineate e provocano un'onda con doppia ampiezza. In tal caso si parla di interferenze costruttive.

Ma se le onde che interferiscono sono fuori fase, le creste di una incontrano le valli degli altri e l'ampiezza che risulta è zero. È quindi un'interferenza distruttiva.

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Formule ed equazioni

Gli elementi principali dell'onda per rappresentarla nello spazio e nel tempo sono la sua ampiezza A, la sua lunghezza d'onda λ e la sua frequenza angolare ω.

Elementi di un'onda. Fonte: Wikimedia Commons.

Nella rappresentazione matematica si preferisce usare k, rispetto al Numero d'onda o Numero di volte l'onda per unità sta accadendo. Ecco perché è definito attraverso la lunghezza dell'onda λ che è la distanza tra due valli o due creste:

K = 2π/ λ

Mentre il frequenza angolare È correlato al periodo o alla durata di un'oscillazione completa, come ad esempio:

Ω = 2π/ t

E anche la frequenza F è data da:

F = ω / 2π

Perciò:

F = 1/t

Inoltre le onde si muovono con velocità v secondo:

v = λ.F

Espressione matematica dell'onda stazionaria

Matematicamente possiamo esprimere un'onda attraverso la funzione del seno o il coseno. Supponiamo che ci siano onde di uguale ampiezza A, lunghezza d'onda λ e frequenza ω, che si diffondono lungo una corda e in sensi opposti:

E₁ = A sin (kx - ωt)

E₂ = A sin (kx + ωt)

Quando li aggiungiamo troviamo l'onda risultante e_R:

E_R = y₁ + E₂ = A sen (kx - ωt) + a sin (kx + ωt)

C'è un'identità trigonometrica per trovare la somma:

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sin α + sin β = 2 sin (α + β)/2 . cos (α - β)/2

Attraverso questa identità, l'onda risultante e_R è rimasto:

E_R = [2a sen kx] . cos ωt

Posizione di nodi e pancia

Antinodos o pance e nodi

L'onda risultante ha ampiezza a_R = 2ase kx, che dipende dalla posizione della particella. Quindi, nei punti per i quali Sen Kx = 0, l'ampiezza dell'onda viene annullata, cioè non ci sono vibrazioni.

Questi punti sono:

Kx = π, 2π, 3π ..

Come k = 2 π/ λ:

(2 π/ λ) x = π, 2π, 3π ..

x = λ/2, λ, 3λ/2 ..

In tali punti si verificano interferenze distruttive e sono chiamati nodi. Sono separati da una distanza pari a λ/2, come dedotto dal risultato precedente.

E tra due nodi consecutivi sono gli antinodos o gonfiarsi, in cui l'ampiezza dell'onda è massima, poiché si verifica l'interferenza costruttiva. Si verificano quando:

sin kx = ± 1

Kx = ± π/2, 3π/2, 5π/2 ..

Di nuovo k = 2 π/ λ e quindi:

x = λ /4, 3λ /4, 5λ /4, ..

Pancia o antinodi e nodi in un'onda stazionaria generata su una corda con estremità fissa a x = 0. Fonte: Wikimedia Commons.

Modalità normali su una corda

Le condizioni di confine sulla corda determinano come sono le lunghezze d'onda e le frequenze. Se una corda di lunghezza L è fissata dalle sue due estremità, non può vibrare con alcuna frequenza, perché i punti in cui la corda è fissata sono già nodi.

Inoltre, la separazione tra i nodi adiacenti è λ/2 e tra il nodo e la pancia è λ/4, in questo modo solo per alcune lunghezze d'onda sono prodotte onde stazionarie: quelle in cui è regolato un numero intero di λ/2 all'interno IL:

(λ/2) = L, con n = 1, 2, 3, 4 .. .

Perciò:

λ = 2l/n

Le armoniche

I diversi valori presi λ sono chiamati armoniche. Quindi abbiamo:

-Prima armonica: λ = 2l

-Seconda armonica: λ = l

-Terza armonica: λ = 2 l/3

-Sala armonica: λ = l/2

E così via.

Velocità e frequenza

Sebbene l'onda stazionaria sembri non muoversi, l'equazione è ancora valida:

v = λ. F

Perciò:

v = (2L/n) . F

F = nv/2l

Ora, si può dimostrare che la velocità con cui un'onda si muove in una corda dipende dalla tensione T nella stessa e dalla sua densità lineare di massa μ (massa per unità di lunghezza) come:

Perciò:

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Caratteristiche di onde fisse

-Quando le onde sono stazionarie, l'onda risultante non si diffonde come i suoi componenti, che vanno da un posto a un altro. Ci sono punti in cui y = 0 perché non ci sono vibrazioni: i nodi, in altre parole, l'ampiezza a_R È zero.

-L'espressione matematica di un'onda stazionaria è costituita dal prodotto di una parte spaziale (che dipende dalla coordinata X o dalle coordinate dello spazio) e da una parte temporale.

-Tra i nodi, le conseguenti onde nere oscillano in un unico posto, mentre le onde che vanno da un posto all'altra sono obsolete lì.

-Proprio nei nodi, l'energia non viene trasportata, poiché questo è proporzionale alla piazza dell'ampiezza, ma è intrappolata tra i nodi.

-La distanza tra i nodi adiacenti è metà della lunghezza d'onda.

-I punti in cui è fissata la corda sono anche considerati nodi.

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Onde stazionarie in una dimensione

Le onde in una corda fissa sono esempi di onde stazionarie in una dimensione, la cui descrizione matematica che abbiamo offerto nelle sezioni precedenti.

Onde stazionarie in due e tre dimensioni

Le onde stazionarie possono anche essere presentate in due e tre dimensioni, essendo una descrizione matematica leggermente più complessa.

Esempi di ondas da corsa

Stringhe fisse

-Una stringa fissata da Extreme che è oscillata a mano o con un pistone dall'altro genera onde stazionarie lungo la sua lunghezza.

Strumenti musicali

Le onde stazionarie sono create in strumenti musicali come Violoncello. Fonte: Pixabay.

-Quando si suonano strumenti a corde come chitarra, arpa, violino e pianoforte.

Le onde stlover sono anche create in tubi ad aria, come i tubi di organi.

Edifici e ponti

Le onde stazionarie sorgono in strutture come ponti ed edifici. Un caso straordinario è stato quello del Tacoma Numerows Suspension Bridge vicino alla città di Seattle, negli Stati Uniti. Poco dopo essere stato inaugurato nel 1940, questo ponte è crollato a causa delle onde stazionarie create all'interno del vento.

La frequenza del vento si abbina alla frequenza naturale del ponte, creando in onde stazionarie in questo, che stavano aumentando la loro ampiezza fino a quando il ponte è crollato. Il fenomeno è noto come risonanza.

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Seiches

Nei porti c'è un fenomeno molto curioso chiamato Seiche, in cui le onde del mare producono grandi oscillazioni. Questo perché le acque nel porto sono piuttosto chiuse, sebbene le acque oceaniche penetrino ogni tanto attraverso l'ingresso del porto.

Le acque portuali si muovono con la propria frequenza, così come quelle dell'oceano. Se entrambe le acque corrispondono alle loro frequenze, c'è una grande onda stazionaria a causa della risonanza, come è successo con il Tacoma Bridge.

IL Seiches Possono anche verificarsi in laghi, bacini, piscine e altri corpi d'acqua limitati dalle superfici.

Serbatoi di pesce

Le onde stazionarie possono essere create in un fishbowl trasportato da una persona, se la frequenza con cui la persona è uguale alla frequenza dell'oscillazione dell'acqua.

Esercizio risolto

La corda per chitarra ha l = 0.9 m e densità di pasta lineare μ = 0.005 kg/m. È sottoposto a 72 N di tensione e la sua modalità di vibrazione è quella che mostra la figura, con ampiezza 2a = 0.5 cm.

Onde stazionarie su una corda per chitarra. Fonte: Bauer, W. Fisico.

Trovare:

a) velocità di propagazione

b) Frequenza delle onde

c) la corrispondente equazione delle onde stazionarie.

Soluzione a

Attraverso:

È ottenuto;

V = [72 N/(0.005 kg/m)]^1/2  = 120 m/s.

Soluzione b

La distanza tra due nodi adiacenti è λ/2, quindi:

(2/3) l - (1/3) l = λ/2

(1/3) l = λ/2

λ = 2l/3 = 2 x 0.90 m / 3 = 0.60 m.

Come v = λ.F

F = (120 m/ s)/ 0.60 m = 200 s^-1= 200 Hz.

Soluzione c

L'equazione è:

E_R = [2a sen kx] . cos ωt

Dobbiamo sostituire i valori:

K = 2π/ λ = K = 2π/ 0.60 m = 10 π/3

F = ω / 2π

Ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.

L'ampiezza 2A è già data dalla dichiarazione:

2a = 0.5 cm = 5 x 10 ^-3 M.

Perciò:

E_R = 5 x 10 ^-3 M . sin [(10π/3) x] . cos (400πt) =

= 0.5 cm . sin [(10π/3) x] . cos (400πt)

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 7. Onde e fisica quantistica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
3. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed Prentice Hall.
4. Serway, r., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 °. Ed. Apprendimento del Cengage.
5. Tipler, p. (2006) Fisica per la scienza e la tecnologia. 5 ° ed. Volume 1. Editoriale tornato.
6. Wikipedia. Seiche. Recuperato da: è.Wikipedia.org.