Numeri trascendenti che sono, formule, esempi, esercizi

IL Numeri trascendenti Sono quelli che non possono essere ottenuti a seguito di un'equazione polinomiale. L'opposto di un numero trascendente è un Numero algebrico, che sono soluzioni di un'equazione polinomiale del tipo:

A_N X^N + A_N-1 X^N-1 +… + A₂ X² + A₁ x + a₀ = 0

Dove i coefficienti_N, A_N-1,… A₂, A₁, A₀ Sono numeri razionali, chiamati Coefficienti polinomiali. Se un numero x è una soluzione dell'equazione precedente, quel numero non è trascendente.

Figura 1. Due numeri di grande importanza nella scienza sono numeri trascendenti. Fonte: partecipazioni di dominio pubblico.netto.

Analizzeremo alcuni numeri e vedremo se sono trascendenti:

a) 3 non è trascendente perché è una soluzione di x - 3 = 0.

b) -2 non può essere trascendente perché è una soluzione di x + 2 = 0.

c) ⅓ è 3x - 1 = 0 soluzione

d) una soluzione di equazione x² - 2x + 1 = 0 è √2 -1, quindi il numero per definizione non è trascendente.

e) né è √2 perché è il risultato dell'equazione x² - 2 = 0. Alzando √2 quadrato si traduce in 2, che sottratti da 2 non importa a zero. Quindi √2 è un numero irrazionale ma non è trascendente.

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Cosa sono i numeri trascendenti?

Il problema è che non esiste una regola generale per ottenerli (in seguito diremo una forma), ma alcuni dei più famosi sono il numero pi e il Numero neper, indicato rispettivamente da: π E E.

Il numero π

Il numero π sembra naturalmente osservare che il quoziente matematico tra il perimetro p di un cerchio e il suo diametro d, indipendentemente dal fatto che sia un cerchio piccolo o grande, dà sempre lo stesso numero, chiamato pi:

π = P/D ≈ 3.14159 ..

Ciò significa che se il diametro della circonferenza viene preso come unità di misurazione, per tutti, sia grande che piccolo, il perimetro varrà sempre P = 3.14 ... = π, Come si può vedere nell'animazione della Figura 2.

Può servirti: teorema di Bolzanofigura 2. La lunghezza del perimetro di un cerchio è talvolta la lunghezza del diametro, essendo circa 3,1416.

Per determinare più decimali, devi misurare più precisione P e D e quindi calcolare il quoziente, che è stato fatto in modo matematico. La conclusione è che i decimali del quoziente non hanno fine e non vengono mai ripetuti, quindi il numero π Oltre ad essere trascendente, lo è anche irrazionale.

Un numero irrazionale è quel numero che non può essere espresso come la divisione di due numeri interi. 

È noto che ogni numero trascendente è irrazionale, ma non è vero che tutti irrazionali sono trascendenti. Ad esempio √2 è irrazionale, ma non è trascendente.

Figura 3. I numeri trascendenti sono irrazionali, ma l'affermazione reciproca non è vera.

Il numero e

Il numero trascendente è la base dei logaritmi neperi e il loro approccio decimale è:

E ≈ 2.718281828459045235360… .

Se volevi scrivere il numero E Esattamente, sarebbe necessario scrivere un decimale infinito, perché ogni numero trascendente è irrazionale, come detto prima.

Le prime dieci cifre di E Sono facili da ricordare:

2.7 1828 1828 e sebbene sembri seguire un modello ripetitivo, ciò non si ottiene nei decimali di ordine maggiore di nove.

Una definizione più formale di E è il prossimo:

Il che significa che il valore esatto di E L'operazione indicata in questa formula è raggiunta, quando il numero naturale N Tende all'infinito.

Questo spiega perché possiamo solo ottenere approcci a E, Dal momento che viene posizionato il numero n, è sempre possibile trovare un N anziano.

Cerchiamo alcuni approcci da soli:

-Quando n = 100 quindi (1 + 1/100)¹⁰⁰ = 2.70481 che coincide a malapena nel primo decimale con il valore "vero" di E.

-Se sei scelto n = 10.000 che hai (1 + 1/10.000)^10.000 = 2.71815 che coincide con il valore "esatto" di E nei primi tre decimali.

Può servirti: lati omologhi

Questo processo dovrebbe essere seguito per essere in grado di ottenere il valore "vero" di E. Non credo che abbiamo tempo per raggiungerlo, ma facciamo un altro tentativo:

Usiamo n = 100.000:

(1 + 1/100.000)^100.000 = 2.7182682372

Che ha solo quattro decimali in coincidenza con il valore considerato accurato.

L'importante è capire che maggiore è il valore di n scelto per calcolare e_N, più vicino sarà del vero valore. Ma quel vero valore si terrà solo quando n è infinito.

Figura 4. È mostrato graficamente come il valore più elevato di n è più vicino a e, ma per raggiungere il valore esatto n deve essere infinito.

Altri numeri trascendenti

A parte questi numeri famosi ci sono altri numeri trascendenti, ad esempio:

- 2^√2

Qualsiasi numero algebrico, che non è 0 o 1, elevato a un esponente irrazionale sarà un numero trascendente.

-Il numero 10 di Champernowne: 

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021… .

-Il numero di Champernowne sulla base 2:

C_2 = 0.110111001011011 .. .

-Il numero γ o gamma costante di Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Che si ottiene facendo il seguente calcolo:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1/n - ln (N)

Quando N Sii molto grande. Per avere il valore esatto del numero gamma sarebbe necessario calcolare N infinito. Qualcosa di simile a quello che abbiamo fatto sopra.

E ci sono molti più numeri trascendenti. Il grande matematico Georg Cantor, nato in Russia e visse tra il 1845 e il 1918, mostrò che l'insieme di numeri trascendenti è molto maggiore dell'insieme di numeri algebrici.

Formule in cui appare il numero trascendente π

Il perimetro della circonferenza

P = π d = 2 π r, dove p è il perimetro, d il diametro e r il raggio della circonferenza. Va ricordato che:

Può servirti: quanto devi aggiungere a 3/4 per ottenere 6/7?

-Il diametro della circonferenza è il segmento più lungo che si unisce a due punti e che passa sempre attraverso il suo centro,

-Il raggio è la metà del diametro ed è il segmento che va dal centro al bordo.

Area del cerchio

A = π r² = ¼ π d²

Superficie di una sfera

S = 4 π r^2.

Sì. Sebbene non sembri, la superficie di una sfera è la stessa di quella di quattro cerchi dello stesso raggio della sfera.

Volume della sfera

V = 4/3 π r³

Esercizi

- Esercizio 1

La pizzeria "esotica" vende tre pizze di diametro: 30 cm piccoli, mediani 37 cm e grandi 45 cm. Un bambino è molto affamato e si è reso conto che due piccole pizze hanno lo stesso costo di un grande. Cosa sarà meglio per lui, compra due piccole pizze o un grande?

Figura 5.- L'area di una pizza è proporzionale alla piazza del raggio, essendo la costante di proporzionalità. Fonte: Pixabay.

Soluzione

Maggiore è la zona, maggiore è la quantità di pizza, per questo motivo l'area di una grande pizza verrà calcolata e confrontata a quella di due piccole pizze:

Grande area di pizza = ¼ π d² = ¼ ⋅3.1416⋅45² = 1590,44 cm²

Piccola pizza = ¼ π d² = ¼ ⋅3.1416⋅30² = 706,86 cm²

Pertanto due piccole pizze avranno un'area di 

2 x 706,86 = 1413,72 cm² .

È chiaro: ci sarà più pizza che acquisterà una singola di due piccoli.

- Esercizio 2

La pizzeria "esotica" vende anche una semi -man -uomo di raggio di 30 cm per la stessa forma rettangolare di 30 x 40 cm. Quale sceglieresti?

Figura 6.- La superficie di un semi -speaker è il doppio della superficie circolare della base. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Come indicato nella sezione precedente, la superficie di una sfera è quattro volte maggiore di quella di un cerchio dello stesso diametro, quindi avrà una semi -Spear di 30 cm di diametro:

30 cm Semi -man -Pizza: 1413.72 cm² (due volte una circolare dello stesso diametro)

Pizza rettangolare: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm² .

Semi -man -Pizza ha un'area più grande.

Riferimenti

1. Fernández J. Il numero e. Origine e curiosità. Recuperato da: matematica della soia.com
2. Goditi la matematica. Il numero di Euler. Recuperato da: divertimento.com.
3. Figuera, j. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni co-bo.
4. Garcia, m. Il numero E nel calcolo elementare. Recuperato da: matematica.Ciens.Ucv.andare.
5. Wikipedia. Numero pi. Recuperato da: Wikipedia.com
6. Wikipedia. Numeri trascendenti. Recuperato da: Wikipedia.com