Darcy Law

Spieghiamo qual è la legge di Darcy, le sue equazioni, applicazioni, limitazioni e proponiamo un esercizio da risolvere

Il flusso d'acqua attraverso due supporti porosi è indicato attraverso frecce nere. Nel mezzo 1 il flusso si muove più velocemente rispetto al mezzo 2, poiché la velocità dipende dalle dimensioni degli interstizi e dalla facilità di comunicazione tra di loro. Fonte: Wikimedia Commons.

Qual è la legge di Darcy?

IL Darcy Law È una relazione matematica applicabile al flusso di fluidi in media permeabili o porosi, ad esempio l'acqua che drena la sabbia.

Man mano che il fluido avanza attraverso il poroso, la sua pressione idrostatica è variabile, in particolare è maggiore nei punti più vicini alla sorgente e inferiore nei punti più vicini al drenaggio. In questo modo appare il concetto di gradiente idraulico, una quantità fisica che sarà indicata con la lettera I.

D'altra parte, il mezzo poroso è caratterizzato da una quantità chiamata Conduttività idraulica K. Esiste chiaramente una relazione tra la porosità, determinata da K, il gradiente idraulico I e il flusso per unità di sezione trasversale q q.

La relazione tra loro fu scoperta dall'ingegnere idraulico francese Henry Darcy (1803-1858), che era incaricato dell'approvvigionamento idrico della sua città natale: Digione.

La legge di Darcy fu presentata nel 1856, in un lavoro approfondito in cui gli importi fisici coinvolti nella legge sono dettagliati, gli esperimenti condotti e in particolare un apparato chiamato permemetro.

Equazioni di darcy Law

La legge di Darcy mostra la relazione tra diverse quantità fisiche che descrivono il flusso attraverso un mezzo poroso. Indica che il flusso d'acqua Q che si muove attraverso un certo mezzo poroso è direttamente proporzionale alla sezione trasversale trafitta e il gradiente idraulico Yo:

Q ∝ a ∙ i

Può servirti: movimento rettilineo uniforme: caratteristiche, formule, esercizi

La costante di proporzionalità è la permeabilità k dell'ambiente poroso, chiamata anche Conduttività idraulica. In questo modo, la legge di Darcy è presentata come:

Q = k ∙ a ∙ i

Forma differenziale della legge di Darcy

L'equazione di Darcy può essere espressa come una relazione differenziale tra la portata in ciascun punto e il gradiente idraulico locale:

Poiché il gradiente idraulico è una quantità negativa quando calcolato nella direzione del flusso, è quindi necessario moltiplicare per il negativo della conducibilità idraulica per ottenere la portata media q, in ciascuna sezione trasversale.

Quindi le magnitudini presenti nella legge di Darcy vengono analizzate in modo più dettagliato.

Flusso, gradiente idraulico e permeabilità

1.- Flusso q

Il flusso è definito come il volume di acqua che circola attraverso una determinata area di sezione trasversale fino alla direzione del flusso, per unità di tempo:

Q = ΔV / ΔT

Nel sistema internazionale delle unità SI, il flusso viene misurato in metri cubi al secondo, ma è spesso espresso in litri al minuto o litri al secondo.

È spesso richiesto il flusso per unità di area Q, che è il rapporto tra il flusso Q e la sezione trasversale:

Q = Q / A

Nel Si, Q è espresso in M/S, motivo per cui Q rappresenta la velocità media del fluido nella sezione trasversale del tubo.

È importante notare che, mentre il flusso Q è lo stesso in tutte le sezioni del tubo, il flusso per unità di area Q o semplicemente la portata è più elevata nelle sezioni più strette e più piccole nella più ampia.

2.- Gradiente idraulico i

Quando un fluido circola lungo un mezzo poroso, la pressione idrostatica diminuisce nella stessa direzione del flusso.

Può servirti: ton: trasformazioni, equivande ed esercizi risolti

È noto che la pressione idrostatica, in un certo punto del tubo, è proporzionale all'altezza H che segna un manometro a tubo aperto in quel punto. La costante di proporzionalità è il prodotto della densità del fluido a causa dell'accelerazione della gravità.

In questo modo, il gradiente idraulico I è definito come il rapporto tra la differenza di altezza ΔH delle colonne di due manometri e ΔL, quest'ultima è la distanza che separa i manometri (vedere la figura sotto):

I = ΔH / ΔL

Il permemetro, un apparato inventato da Henry Darcy per quantificare il flusso di acqua attraverso un mezzo poroso. Fonte: f. Zapata.

Questo è il gradiente idraulico medio nella sezione di Long ΔL, una quantità senza dimensioni e anche negativo.

Se si desidera trovare il gradiente idraulico in ciascun punto del tubo, il limite viene assunto per ΔL che tende a zero, con conseguente derivato della funzione del gradiente idraulico rispetto alla posizione L, lungo il flusso:

3.- Permeabilità k

La permeabilità di un mezzo poroso o conducibilità idraulica è il rapporto tra il flusso Q e il prodotto della sezione trasversale A Per il gradiente idraulico Yo:

K = q / a ∙ i

La conducibilità idraulica ha unità di velocità, metri sopra se stesso.

È stata definita un'unità per K, chiamata Darcy, In onore di Henry Darcy e definito come segue:

UN Darcy È la permeabilità di un millilitro fluido, con una viscosità di un centipoise, che si muove lungo un centimetro in una pressione differenziale di un'atmosfera, attraverso una sezione trasversale di un centimetro quadrato.

Darcy Law Applications

La principale applicazione della legge di Darcy è prevedere il flusso di acqua lungo una falda acquifera, prima di perforare i pozzi.

Può servirti: analisi dimensionale

Inoltre, la legge di Darcy viene regolarmente utilizzata nell'ingegneria agricola e idrologica. Può anche essere utilizzato nell'industria petrolifera per descrivere il flusso di gas e petrolio nei media porosi. Tuttavia, in quel caso K può variare, a seconda del flusso di gas o petrolio e non può dipendere esclusivamente ed esclusivamente dal substrato permeabile.

Limitazioni

La legge di Darcy presuppone che la conducibilità idraulica k sia una quantità di mezzo, il che è vero in molti casi. Tuttavia, a volte K dipende dalla viscosità dinamica del fluido, che a sua volta può dipendere dalla portata e dai gradienti di temperatura.

Il presupposto di Darcy è plausibile quando si considerano l'acqua sotterranea, dove la viscosità è praticamente costante, poiché il suo valore non è quasi influenzato in vista delle poche differenze di temperatura in tutta l'aquifer.

In caso di flusso di olio attraverso mezzi porosi, l'equazione di Darcy non può essere applicata come presentata qui, ma sono incorporate alcune modifiche che vanno oltre lo scopo di questo articolo.

Esercizio risolto

Determinare la conduttività idraulica di una sabbia da spiaggia, utilizzando un permemetro di laboratorio.

Supponiamo che il tubo del permemetro abbia un diametro di 20 cm e che la distanza tra i due manometri sia di 50 cm. È anche noto che l'acqua scorre ad una velocità di 300 decimetri cubi al minuto e la differenza di livello tra i due manometri è di 25 cm.

Soluzione

Il flusso che è di 300 decimetri cubici al minuto, ma che esprime in unità del sistema internazionale sarebbe così:

Q = 300 x 10^-3 M³ / 60 s = 5 x 10^-3 M³ / S

La sezione A trasversale è calcolata da:

A = π ∙ r² = π ∙ (10 cm)² = π ∙ (0,1 m)² = 0,314 m²

Il gradiente idraulico I è un quoziente tra la differenza di altezza manometrica e la separazione dei manometri:

I = 25 cm / 50 cm = 0,5

Secondo la definizione di conducibilità idraulica k indicata sopra:

K = q / a ∙ i = (5 x 10^-3 M³ / s) / (0,314 m² ∙ 0,5) = 3.185 x 10^-2 m/s ≈ 2 m/min.