Uguaglianza matematica

Figura 1.- L'uguaglianza matematica assicura che 1 + 1 sia lo stesso 2

Cos'è l'uguaglianza matematica?

Un'uguaglianza matematica assicura che due espressioni siano uguali o diverse, sono totalmente equivalenti. Queste espressioni possono essere una natura diversa, ad esempio numeri, lettere che simboleggiano quantità o magnitudini, combinazioni di numeri e lettere, matrici e altro ancora.

Il simbolo usato per indicare l'uguaglianza nel linguaggio matematico è quello di due linee parallele e orizzontali, che nel testo stampato è il simbolo ben noto "=". Ad esempio, se hai tre mele, puoi scrivere la seguente uguaglianza:

Numero di mele = 3

La frase "numero di mele" è il membro della sinistra e il numero 3 è il membro a destra dell'uguaglianza.

Poiché è possibile scrivere importi numerici in vari modi, l'uguaglianza viene utilizzata per indicarli. Prendendo un caso specifico per illustrare il punto, ci sono diversi modi per scrivere il numero 4, a parte il più ovvio che è 4 = 4, può essere scritto quanto segue, attraverso un'uguaglianza matematica:

2 + 2 = 4
6 - 2 = 4
8 ÷ 2 = 4
2 × 2 = 4
2² = 4

L'uguaglianza qui mostrata è vera, ma un'uguaglianza potrebbe non essere, ad esempio 10 + 5 = 20 è falsa, poiché 10 + 5 = 15.

Sicuramente il lettore conosce altri modi per scrivere il numero 4. Si noti che le espressioni su ciascun lato dell'uguaglianza possono essere numeri, parole, lettere che simboleggiano quantità o altri simboli, ad esempio:

x + 1 = 7
A²B - 1 = XY
f (x) = 2x²

I matematici non hanno sempre usato il simbolo dell'uguaglianza, quindi i vecchi trattati matematici erano molto estesi.

È attribuito al matematico e al dottor Robert Remember (1510-1558), nato in Galles, la creazione del simbolo dell'uguaglianza "=", così familiare a tutti oggi. Ricorda, apparentemente stanco di scrivere in ogni momento la frase "proprio come" in uno dei suoi trattati matematici, ha deciso di abbreviare al suo posto i parenti paralleli a strisce.

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Proprietà dell'uguaglianza matematica

Le seguenti proprietà consentono di funzionare correttamente con l'uguaglianza matematica. Sono assiomatici, quindi non richiedono dimostrazione:

1.- Proprietà riflessiva

Questa proprietà stabilisce che qualsiasi importo è uguale a se stesso. In particolare, poiché qualsiasi numero è uguale a se stesso, può essere scritto uguali:

5 = 5

36.35 = 36.35

Se un importo è letterale o è una combinazione di lettere e numeri, è anche uguale a se stesso:

3x = 3x

A²AVANTI CRISTO^-1 = a²AVANTI CRISTO^-1

2.- Proprietà della simmetria

Gli importi o i membri su entrambi i lati dell'uguaglianza possono essere scambiati senza perdita di validità. Cioè, se ciò che è alla sinistra del simbolo "=" è scritto alla tua destra e ciò che è sulla tua destra è posizionato a sinistra, è la stessa uguaglianza.

Ad esempio, l'espressione 5 + 2 = 7 è equivalente a questo: 7 = 5 + 2. Nello stesso modo:

12 + 8 = 20; 20 = 12 + 8

x + 1 = 3; 3 = x + 1

x - z = y; y = x - z

3.- Proprietà transitiva

Questa proprietà si riferisce all'equivalenza dell'uguaglianza. Se due uguaglianza hanno un membro comune, allora sono anche gli stessi, poiché in generale:

Se “x = y” e “y = z” allora x = z

Per illustrare questa proprietà, considera queste due uguaglianze numeriche: 2 + 2 = 4 e 6 - 2 = 4. Poiché entrambi sono uguali a 4 (hanno un membro comune), allora può essere scritto quanto segue, senza perdere alcuna validità:

2 + 2 = 6 - 2

Un altro esempio, questa volta con lettere:

Sì x + 1 = 5

E

A - b = 5

COSÌ:

x+1 = a - b

4.- Proprietà di cancellazione

Una uguaglianza non viene modificata se in entrambi i membri c'è lo stesso importo che sta aggiungendo (o sottraendo) e si decide di eliminare o annullarlo. Questa è la proprietà di cancellazione della somma.

Prendi come esempio la seguente uguaglianza numerica in cui il 10 appare sia nel membro di destra che in quello a sinistra:

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2 + 2 + 10 = 6 - 2 + 10

Il numero 10 può essere annullato senza che l'uguaglianza perda la sua validità, lasciando un'altra uguaglianza più breve ed equivalente a quella precedente:

2 + 2 = 6 - 2

Nell'uguaglianza (10 ÷ 2) - 3 = 5 - 3 l'intero - 3 appartiene a entrambi i membri dell'uguaglianza e appare come aggiunta, quindi può essere annullato, ottenendo:

10 ÷ 2 = 5

Succede anche con quantità letterali, ad esempio:

Sì x + 2y + z = −a + b + z

Quindi la "z" può essere annullata, poiché si trova su entrambi i lati dell'uguaglianza come aggiunta (e con lo stesso segno).

In tal modo i risultati:

x + 2y = −a + b

Può anche definire la proprietà di cancellazione della moltiplicazione. Se lo stesso importo C moltiplica entrambi i membri dell'uguaglianza, questo importo può essere annullato, ad esempio:

Cx = cy

Quindi C può essere annullato per ottenere semplicemente:

X = Y

5.- Proprietà dell'uniformità

Una uguaglianza rimane invariabile aggiungendo, sottraendo, moltiplicando o dividendo per la stessa quantità su entrambi i lati della stessa.

Ad esempio, ha 8 + 5 = 13, se entrambi i membri si moltiplicano per determinati numero arbitrario c = 2, l'uguaglianza rimane:

(8+5) × 2 = 13 × 2

13 × 2 = 26

Classi e pari matematiche

Esistono vari tipi di uguaglianza matematica, quindi sono classificati per la loro migliore comprensione in:

-Identità, Sono uguaglianza in cui entrambi i membri sono identici:

2 = 2
x = x
2x = x + x

e così via.

-Equazioni, Queste sono uguaglianze in cui appaiono una o più incognite e sono vere per determinati valori, cioè l'uguaglianza non è soddisfatta per alcun valore arbitrario, quindi sono anche conosciuti come uguaglianze condizionali. Esempi:

x + 1 = 5

X³ = 27

A + b = 40

figura 2.- Un'equazione è un'uguaglianza matematica condizionale, poiché viene soddisfatta solo per determinati valori variabili. L'immagine mostra un'equazione di secondo grado, che al massimo ha due soluzioni reali

-Equivalenze, In essi il membro di sinistra è equivalente a quello a destra, anche se non sono uguali, ad esempio in: 2³ = 8.

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-Formule, È un'uguaglianza che è sempre soddisfatta per i valori della variabile indipendente, come nella formula ben nota per la distanza d a seconda del tempo t di un cellulare con movimento rettilineo uniforme: D = v ∙ t

Esercizi risolti

Esercizio 1

Scrivi il numero 10 a quattro uguaglianza diversa ed equivalente.

Soluzione

Tutta questa uguaglianza esprime il numero 10, ma in diversi modi:

5 × 2 = 10

11-1 = 10

10¹= 10

20 ÷ 2 = 10

Esercizio 2

Qual è il valore di x che soddisfa l'uguaglianza x + 1 = 3?

Soluzione

Questa uguaglianza è un'equazione, poiché il valore di x è sconosciuto. Usando la proprietà 5, se viene aggiunta l'espressione x + 1 = 3 (−1) su entrambi i lati del simbolo "=", l'uguaglianza rimane:

x + 1 + (−1) = 3 + ( - 1)

Quando si aggiunge (−1) al membro della sinistra e l'operazione viene risolta, la "X" è sola sul lato sinistro dell'uguaglianza, questa procedura viene chiamata spazio:

x + 1 - 1 = 3−1

x = 2

Pertanto, il valore che soddisfa questa uguaglianza è x = 2.

Esercizio 3

Se un cellulare con movimento rettilineo uniforme ha una velocità di 2.5 m/s, qual è la distanza che funziona dopo 3 secondi?

Soluzione

Viene utilizzata la formula vista nella sezione precedente, D = v ∙ t, in cui viene sostituito il valore di V:

D = 2.5 ∙ t

L'espressione diventa un'uguaglianza quando t = 3 secondi e l'operazione viene risolta:

D = 2.5 ∙ 3 m = 7.5m

Che si traduce in uguaglianza:

D = 7.5m

Riferimenti

1. Barnett, r. 2000. Pre-scultura. 4 °. Edizione. McGraw Hill.
2. Larson, r. 2012. Pre-scultura. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
3. Pérez, v. Proprietà dell'uguaglianza algebrica. Recuperato da: matematica.Laguia2000.com.
4. Proprietà dell'uguaglianza. Estratto da: PPS.K12.O.noi.
5. Stewart, J. 2007. Pre-calcolo: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.