Funzioni trigonometriche di base, nel piano cartesiano, esempi, esercizio fisico

IL funzioni trigonometriche Di vera variabile corrispondono a qualsiasi angolo (espresso in radianti), una ragione trigonometrica, che può essere sinuso.

In questo modo abbiamo le sei funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, mietitrice, asciugatura e cotangente.

Figura 1. Animazione del cerchio trigonometrico. Fonte: Wikimedia Commons.

Le funzioni trigonometriche per angoli tra 0 e 2π sono definite con l'aiuto della circonferenza unitaria, della radio 1 e il cui centro coincide con quello dell'origine del sistema di coordinate cartesiane: il punto (0,0).

Possiamo individuare qualsiasi punto p delle coordinate (x, y) su questa circonferenza.

Il segmento che unisce l'origine con P, insieme ai rispettivi segmenti che uniscono le proiezioni di P sugli assi delle coordinate, costituiscono un triangolo rettangolo, le cui ragioni trigonometriche sono conosciute come i quozienti tra i lati del triangolo. COSÌ:

• sin θ = opposto /ipotenusa cateto
• cos θ = adiacente /ipotenusa cateto
• Tg θ = Cateto opposto /Cateto adiacente

E ora le ragioni che sono l'inverso di quanto sopra:

• sec θ = ipotenusa /cateto adiacente
• Danno θ = ipotenusa /cateto opposto
• CTG θ = Cateto adiacente /Cateto opposto

Nel cerchio unitario l'ipotenusa di qualsiasi triangolo è uguale a 1 e le categorie valgono xey, quindi:

sin θ = y

cos θ = x

figura 2. Il triangolo destro nel cerchio unitario. Fonte: Wikimedia Commons.

In questo modo, le funzioni seno e coseno acquisiscono sempre valori tra -1 e 1, mentre quelli rimanenti:

tg θ = y/x

danno θ = 1/y

Sec θ = 1/x

Non sono definiti quando X O E Valgono 0.

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Funzioni trigonometriche nel piano cartesiano

Come vedremo di seguito, le funzioni trigonometriche sono caratterizzate dall'essere periodiche. Pertanto non sono bijective, tranne in un dominio limitato.

Funzione f (x) = sin x

A partire dal cerchio trigonometrico al punto P (1.0), l'angolo è 0 radianti. Quindi il raggio ruota in un senso anti -horario e la funzione sen x sta crescendo gradualmente fino a quando non raggiunge π/2 radianti (90º), equivalente a 1.Circa 571 radianti.

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Lì raggiunge il valore y = 1 e quindi diminuisce fino a raggiungere zero in π radianti (180 °). Successivamente diminuisce ancora di più, poiché il valore diventa negativo fino a raggiungere -1 quando l'angolo è 3π/2 radianti (270 °).

Infine, aumenta di nuovo fino a quando non torna a zero a 360 °, dove tutto ricomincia. Questo rende y = sin x a funzione periodica del periodo 2π, quindi la funzione del seno non è bijective.

Inoltre, il grafico è simmetrico rispetto al punto (0,0), quindi la funzione è dispari.

Quindi il grafico di y = sen x:

Figura 3. Grafico della funzione f (x) = sin x. Fonte: Stewart, J. Prececculment: matematica per l'università.

La sezione rossa è il primo periodo. Sono anche considerati angoli negativi, poiché il raggio del cerchio trigonometrico può ruotare in un programma.

Dominio sen x = Tutti i reals.

Sen x gamma o percorso = [-1,1]

Funzione f (x) = cos x

Al punto P (1.0) la funzione coseno vale 1 e da lì diminuisce, raggiungendo 0 quando l'angolo è π/2. Continua a diminuire e prende valori negativi, fino a raggiungere -1 ad angolo π.

Quindi inizia ad aumentare gradualmente fino a quando non raggiunge 0 in 3π/2 e prende nuovamente valore quando il raggio ha trasformato una svolta completa. Da lì il ciclo viene ripetuto, poiché cos x è periodico ed è anche coppia (simmetrica attorno all'asse verticale).

La forma della funzione del coseno è uguale a quella della funzione sinusale, a meno che non vengano spostati π/2 uno rispetto all'altro.

Figura 4. Grafico della funzione f (x) = sin x. Fonte: Stewart, J. Prececculment: matematica per l'università.

COS X dominio = Tutti i reals.

Può servirti: stima puntuale

Range o Cos X Route = [-1,1]

Funzioni trigonometriche discontinue

Le funzioni TG X, CTG X, Sec X e HARS. Poiché questi valgono 0 ad alcuni angoli, quando compaiono nel denominatore, rendono la funzione discontinua.

E poiché il seno e il coseno sono funzioni periodiche, le funzioni Tg X, CTG X, Sec X, Harm X sono anche.

Funzione tangente f (x) = tg x

Per la funzione tangente, i valori di discontinuità sono: ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 ... Lì la funzione prende valori molto grandi o molto piccoli. In generale questo accade per tutti i multipli di π della forma (2n+1) π/2, sia positivo che negativo, con n = 0, 1, 2 ..

Figura 5. Grafico della funzione f (x) = tg x. Fonte: Wikimedia Commons.

Perciò:

Dominio TG X: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Rango o TG X Tour: Tutti reales.

Si noti che la funzione f (x) = tg x viene ripetuta tra - π/2 e + π/2, quindi il suo periodo è π. Inoltre, è simmetrico rispetto all'origine.

Funzione cotangent f (x) = ctg x

Per questa funzione, i valori di discontinuità si verificano in 0, ± π, ± 2π…, cioè gli interi multipli di π.

Figura 6. Grafico della funzione f (x) = cotg x. Fonte: Wikimedia Commons.

Come la funzione tangente, la funzione cotangente è periodica π. Per lei è soddisfatto che:

Dominio CTG X: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

Gamma o percorso CTG X: Tutti reales.

Funzione di asciugatura f (x) = sec x

La funzione sec x ha punti di discontinuità in ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2…, dove cos x = 0. È anche un periodo periodico π e si osserva anche del grafico che la funzione non prende mai valori nell'intervallo (-1,1)

Può servirti: numeri interi Figura 7. Grafico della funzione f (x) = sec x. Fonte: Wikimedia Commons.

Doma di Sec x: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Sec gamma X o percorso: All Reais tranne (-1,1)

Funzione di raccolta f (x) = danno x

È simile alla funzione di asciugatura, sebbene sia spostato a destra, quindi i punti di discontinuità sono 0, ± π, ± 2π e tutti gli interi multipli di π. È anche periodico.

Figura 8. Grafico della funzione f (x) = danno x. Fonte: Wikimedia Commons. Geek3/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)

Danno danno x: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

Portata o percorso di armonia: All Reais tranne (-1,1)

Esercizio risolto

Un uomo alto 6 piedi proietta una tonalità la cui lunghezza è data da:

S (t) = 6 │cot (π.T/12) │

Con S a piedi e T il numero di ore dopo le 6 del mattino. Quanto costa l'ombra alle 8:00, alle 12 m, alle 14:00 e alle 17:45?

Soluzione

Dobbiamo valutare la funzione per ciascuno dei valori dati, si noti che il valore assoluto deve assumere, poiché la lunghezza dell'ombra è positiva:

-Alle 8 del mattino, sono trascorse 2 ore dalle 6 del mattino, quindi t = 2 e s (t) è:

S (2) = 6 │cot (π.2/12) │PIES = 6 │Cot (π/6) │PIES = 10.39 piedi.

-Quando sono 12 N, t = 6 ore sono trascorse quindi:

S (6) = 6 │cot (π.6/12) │PIES = 6 │cot (π/2) │PIES = 0 piedi. (A quel tempo il sole cade verticalmente sulla testa della persona).

-Alle 14 hanno speso t = 8 ore:

S (8) = 6 │cot (π.8/12) │PIES = 6 │Cot (2π /3) │Pies = 3.46 piedi.

-Quando sono le 17:45, 11 sono passati 11.75 ore dalle 6 del mattino, quindi:

S (11.75) = 6 │cot (π x 11.75/12) │PIES = 91.54 piedi. In questo momento le ombre si stanno allontanando.

Il lettore può calcolare il tempo in cui l'ombra della persona è uguale alla loro altezza?

Riferimenti

1. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
2. Figuera, j. 1999. Matematica. 1 °. Diversificato. Edizioni collegiali bolivariane.
3. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.