Funzioni di laurea superiori a due (esempi)

Un (polinomio) di grado maggiore di due ha la forma generale:

f (x) = a₀ + A₁x +a₂X² +.. .A_NX^N

Con n = 3, 4, 5, ..., un numero intero non negativo e i coefficienti a_O, A₁… A_N, che di solito sono numeri reali.

Figura 1.- Grafico di grado di grado maggiore di 2. Fonte: f. Zapata.

Il grado della funzione è dato dal valore di n, il più grande degli esponenti e che a sua volta è maggiore di 2. Quando n = 0 è una funzione costante, se n = 1 è una funzione lineare e infine con n = 2 è una funzione quadratica.

Esempi di funzioni superiori a due, nella variabile "x", sono i seguenti:

• f (x) = x³
• H (x) = - 3x³ + 5x² - X + 7
• g (x) = x⁴ - 6x² + 25

La funzione f (x) = x³ È il più semplice di tutte le funzioni di maggiore di due e la sua laurea è 3. Un grado 3 è anche noto come funzione cubica. Da parte sua, G (x) è di grado 4, per essere 4 il massimo esponente.

Il valore di n è molto importante perché determina la forma generale del grafico e anche la quantità massima di radici o incroci che la funzione ha con l'asse orizzontale. In effetti, una funzione a 3 gradi toccherà l'asse orizzontale al massimo 3 punti, uno di grado 4 lo farà al massimo in 4 punti e così via.

Per quanto riguarda il termine indipendente, in una funzione polinomiale di qualsiasi misura indica l'intersezione della funzione con l'asse verticale.

Caratteristiche delle funzioni polinomiali superiori a due

Dominio

Il dominio di una funzione è l'insieme di valori che consentono di calcolare i valori di y = f (x). Per le funzioni polinomiali questo set è quello dei numeri N reali o l'insieme di numeri complessi, se necessario per estendere il dominio.

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Significa che, data la funzione polinomiale f (x) = a₀ + A₁x +a₂X² +.. .A_NX^N, È sempre possibile sostituire qualsiasi numero reale, eseguire le operazioni indicate e ottenere di conseguenza un valore di Y = F (x) reale reale.

Allineare

È il set formato da tutti i valori acquisiti f (x), cioè le immagini che ogni valore di x ha attraverso la funzione f (x). Per le funzioni polinomiali superiori a 2, questo set è quello dei numeri reali.

Radici della funzione

Sono i valori di x per i quali è soddisfatto che f (x) = 0. Come indicato sopra, il grado della funzione indica il numero massimo di radici che può avere, sebbene non tutte sono necessariamente reali.

Quando i coefficienti della funzione sono numeri reali, le radici reali corrispondono alle intersezioni della funzione con l'asse x.

Esempio 1

Le radici razionali della funzione f (x) = 2x³ - 9x² + 7x + 6 è disponibile attraverso il seguente teorema:

Se la radice di f (x) = a₀ + A₁x +a₂X² +.. .A_NX^N È la forma b/c, quindi i possibili valori di b sono fattori di a_O e i possibili valori di C sono i fattori di a_N.

Per la funzione dell'esempio, le combinazioni già semplificate sono: ± 6, ± 3, ± 2, ± 1, ± 3/2, ± ½. Ora ognuno viene testato attraverso la procedura di divisione sintetica, ad esempio. Quando il residuo di divisione è 0, il valore comprovato è una radice:

Il valore x₁ = 3 è una radice o zero della funzione, quindi (x - 3) è un fattore comune di f (x) e questo può essere scritto come:

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f (x) = (x - 3) ∙ (2x² −3x −2)

Le restanti due radici sono i valori che soddisfano l'equazione 2x² −3x −2 = 0. Questa equazione può essere risolta attraverso la formula generale, un calcolatore scientifico o ripetendo il precedente processo Tanteo.

Queste radici sono x₂ = 2 e x₃ = - ½ e ora f (x) può essere scritto come prodotto di tre fattori:

f (x) = (x - 3) ∙ (x - 2) ⋅ (x + ½)

Le intersezioni di f (x) con l'asse x sono i punti: p₁ (3.0), p₂(2.0) e P₃(--½, 0). Il grafico della funzione, ottenuto con geogebra, mostra le sue intersezioni con l'asse X:

figura 2.- Una funzione polinomiale di grado 3 ha tre intersezioni con l'asse orizzontale. Fonte: f. Zapata.

Incrocio con l'asse verticale

Per trovare l'intersezione della funzione con l'asse verticale devi trovare f (0), che è semplicemente₀.

Esempio 2

Trova l'intersezione di f (x) = 2x³ - 9x² + 7x + 6 con l'asse verticale è molto semplice, quando si fa x = 0 in f (x) si ottiene:

f (x) = 6

E il punto di intersezione della funzione con l'asse verticale è p₄(0.6).

Figura 3. L'intersezione della curva con l'asse verticale sta facendo x = 0 in f (x). Fonte: f. Zapata.

Continuità

Funzioni polinomiche in generale, e in particolare quelle superiori a 2 sono funzioni continue in tutto il loro dominio, ciò significa che non hanno salti, passaggi, buchi o valori per i quali non sono definiti. Né hanno gli asintoti, che sono verticali, orizzontali o obliqui diritti a cui si avvicina la funzione senza attraversarli.

Queste qualità di morbidezza e continuità sono apprezzate nei grafici sopra mostrati.

Grafico delle funzioni superiori a 2

I grafici delle funzioni superiori a 2 sono continui e morbidi e la loro forma dipende dal grado del polinomio.

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Ad esempio, quelli di grado 3 hanno un segno negativo nel termine con il massimo grado).

Figura 4. Funzione poliinomica di grado 4, il cui grafico ricorda una lettera w. Fonte: f. Zapata.

Per i valori di x lontano da x = 0, sia a sinistra che a destra, la funzione si comporta come farebbe il termine di massimo, perché questo prevale sugli altri quando x diventa molto grande o molto piccolo.

Nell'immagine che segue la funzione f (x) = 2x viene confrontata³ - 9x² + 7x + 6 con la funzione r (x) = x³ Ed è apprezzato che la forma di entrambe le curve sia simile ai valori di X che sono ben lungi da X = 0.

Per grandi valori X, la funzione cresce rapidamente curando a +∞, mentre per valori X negativi, la funzione diminuisce rapidamente e tende a −∞.

Figura 5.- Tutte le funzioni di grado N si comportano in modo simile quando si allontanano da x = 0, sia a sinistra che a destra. Fonte: f. Zapata.

Confrontando le curve di coppia -grade (Figura 4) con il grado dispari (Figura 2), a condizione che il coefficiente che accompagna il termine più alto ha lo stesso segno, si osserva che le curve di grado dispari iniziano da "y" negative e crescere, mentre quelli del grado target iniziano in "y" positivo e diminuiscono.

Riferimenti

1. Barnett, r. 2000. Prececculment: funzioni e grafica. 4 °. Edizione. McGraw Hill.
2. Calcolo.DC. Funzioni polinomiche. Recuperato da: calcolo.DC.
3. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Stewart, J. 2007. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Tutor varsity. Funzioni polinomiali graficanti. Estratto da: WarsityTorm.com.