Frazioni parziali

Il metodo di decomposizione nelle frazioni parziali viene utilizzato per risolvere integrali. Fonte: f. Zapata.

Quali sono le frazioni parziali?

Il metodo di frazioni parziali o Le frazioni semplici vengono utilizzate in algebra e calcolo matematico per decomporre un'espressione razionale, lasciando una somma algebrica di frazioni più semplici.

Essendo le frazioni semplici aggiuntive, è facilitato il calcolo di operazioni come derivati ​​e integrali.

Considera la seguente espressione algebrica razionale, che consiste nei polinomi P (x) e Q (x) nel numeratore e nel denominatore, rispettivamente:

Vuoi scrivere questa espressione come somma di frazioni più piccole. Per fare ciò, va notato che Q (X) polinomiale nel denominatore è un trinomio quadrato, che può essere rapidamente fattore, come prodotto di due fattori:

X²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Pertanto, l'espressione precedente rimane come segue:

Conoscere la somma delle frazioni, questo modo di scrivere l'espressione porta facilmente all'altro:

Resta da trovare i valori di A e B, in modo che l'espressione originale sia espressa come la somma di queste due frazioni più piccole. Per l'esempio mostrato, i valori sono: a = 3 e b = 2 e il lettore può confermare che, in effetti, la somma:

È equivalente all'espressione originale:

Dato che:

Come vengono calcolate le frazioni parziali?

Esistono metodi per il calcolo dei coefficienti che devono andare nei numeratori delle frazioni semplici, che dipendono dalla forma dell'espressione razionale originale, cioè dalla forma di p (x)/q (x).

In primo luogo, si deve ricordare che, quando il grado di p (x) è inferiore a quello di Q (x), è un propria espressione razionale, E se si verifica il contrario, è un Espressione razionale impropria.

I metodi per decomporsi in semplici frazioni si riferiscono alle proprie espressioni algebriche, se non lo sono, devono prima essere ridotti, eseguendo l'operazione di divisione P (X)/Q (X).

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Quindi, l'obiettivo è trovare i numeratori di ciascuna delle frazioni, per le quali si distinguono quattro casi, il che dipende dalla fattorizzazione del denominatore Q (x).

Caso 1: i fattori di Q (x) sono lineari e non ripetuti

Se i fattori di Q (x) sono lineari e non ripetuti, cioè sono della forma (X-A_Yo)

Q (x) = (x -a₁)(per₂)… (per_N)

Con un₁ ≠ a₂  ≠ a₃ ... ≠ a_N, Cioè, tutti i fattori di Q (x) sono diversi, l'espressione razionale è scritta come:

I valori di a₁, A₂, A₃… A_N, Devono essere determinati. L'espressione razionale mostrata all'inizio è un esempio di questo caso.

Caso 2: Q (x) ha ripetuti fattori lineari

Se Q (x) è costituito da un fattore ripetuto della forma (x - a)^N, Con n ≥ 2, la decomposizione in frazioni parziali viene eseguita come segue:

Come nel caso precedente, i coefficienti devono essere determinati mediante procedure algebriche.

Caso 3: Q (x) ha un fattore quadratico irriducibile non reposto

Se considerando Q (x) appare un fattore quadratico irriducibile, della forma AX²+Bx+C, per questo fattore, nella decomposizione deve essere incluso, un aggiunta con questo modulo:

I valori di A e B devono essere trovati.

Caso 4: Q (x) ha un fattore quadratico irriducibile e ripetuto

Supponendo che la fattorizzazione di Q (x) contenga un fattore quadratico irriducibile e ripetuto²+Bx+c)^N, Devono essere inclusi i seguenti aggiunti:

Come sempre, devono essere calcolati i coefficienti necessari. Gli esempi seguenti mostrano le procedure algebriche richieste.

Esempi di frazioni parziali

Esempio 1

La seguente espressione razionale:

Viene già fornito con il denominatore fattorizzato, costituito da due fattori lineari non ripetuti, quindi Q (x) è:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Quindi, la decomposizione nelle frazioni parziali richieste corrisponde al caso 1, essendo in grado di scrivere:

Per trovare i rispettivi valori di A e B, viene eseguita la somma dell'uguaglianza:

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Equaire i numeri:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Applicazione di proprietà distributiva e raggruppando termini simili:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Il coefficiente (A+B) è uguale a 3, poiché entrambi accompagnano, su entrambi i lati dell'uguaglianza, al termine che contiene "X". Da parte sua, il coefficiente (−a+2b) è uguale a 0, poiché a destra dell'uguaglianza non c'è altro termine simile.

Viene quindi formato il seguente sistema di due equazioni con due incognite:

A+b = 3
−a+2b = 0

La cui soluzione è:

A = 2
B = 1

Perciò:

Il lettore può controllare l'uguaglianza, eseguendo la somma delle sezioni a destra.

Esempio 2

In questa altra espressione:

Anche fattorizzato, si osserva l'aspetto del termine ripetuto (x+1)², Oltre al termine lineare (x+2). In tal caso, la decomposizione in frazioni parziali, come indicato nel caso 2, è:

Per trovare i valori di A, B e C, viene eseguita la somma della destra e viene utilizzato solo il numeratore:

Il numeratore dell'espressione risultante è uguale a quello dell'espressione originale, sviluppando algebricamente per separare i termini simili:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

Ascia²+2x+1)+b (x²+3x+2)+C (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Dal risultato, un sistema di tre equazioni con tre incognite A, B e C:

A + b = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = −3

La soluzione di sistema è:

A = −5
B = 5
C = −4

La decomposizione nelle frazioni parziali richieste è:

Esercizio risolto

Questa sezione mostra un esercizio risolto che illustra l'applicazione del metodo di frazioni parziali o frazioni semplici, al calcolo degli integrali indefiniti. L'obiettivo è scrivere l'integrazione in modo più semplice.

Una volta riscritto, i semplici integrali risultanti sono ricercati in una tabella o risolti da una semplice variabile variabile.

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È richiesto di calcolare il seguente integrale:

Soluzione

Il primo è verificare che l'integrazione sia, in effetti, un'espressione algebrica razionale, poiché il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore. Il suo denominatore è facilmente fattore e rimane:

Pertanto, Q (x) è:

Q (x) = x (x²+2)

E consiste in un termine lineare: x e un termine quadratico irriducibile non ripetuto: x x²+2, quindi, è una combinazione del caso 1 e del caso 3. La decomposizione nelle frazioni parziali dell'integrazione è:

Fare la somma al diritto all'uguaglianza:

Come sempre, per le frazioni parziali funziona solo con il numeratore dell'espressione della somma, che dovrebbe essere sempre uguale a quello dell'espressione originale:

Ascia² + 2) + x (bx + c) = 2

Sviluppando:

Ascia² + 2a + bx² + Cx = 2

Raggruppando termini simili:

(A+b) x² + Cx + 2a = 2

Uguali I coefficienti di termini simili, si ottiene il sistema di equazioni da risolvere, con le incognite A, B e C:

A + b = 0
C = 0
2a = 2

Dalla seconda equazione, è già noto che c = 0, dall'ultimo segue che a = 1, quindi b = -1, in modo che il primo. Con questi valori si ottiene:

Ora è sostituito nell'integrale originale:

E si ottengono due semplici integrali con funzioni elementari, trovate nelle tabelle o sono una risoluzione rapida.

Il primo IDE questi integrale è elementare:

E il secondo integrale:

È risolto con la seguente modifica della variabile: u = x²+4, du = 2xdx, dando origine a:

Restituendo il cambio di variabile:

Infine, raccogliendo entrambi i risultati, la soluzione è determinata:

Le due costanti di integrazione vanno in una, chiamata C.

Riferimenti

1. Araujo, f. 2018. Calcolo integrale. Università politecnica Salen. Editoriale dell'Università Abya-Yala. Quito, Ecuador.
2. Arcega, r. Integrazione per decomposizione in frazioni parziali. Recuperato da: uaeh.Edu.MX.
3. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Purcell, e. J. 2007. Calcolo. 9na. Edizione. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Algebra e trigonometria con geometria analitica. 13 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.