La distribuzione uniforme continua le caratteristiche, esempi, applicazioni
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Una variabile casuale ha un file Distribuzione uniforme continua Se la probabilità di prendere un valore, entro un intervallo finito [a, b], è la stessa per qualsiasi sub-intervallo di uguale lunghezza.
Questa distribuzione è analoga alla distribuzione uniforme discreta, che assegnata a ciascun risultato dell'esperimento casuale la stessa probabilità, ma in questo caso la variabile da considerare è continua. Ad esempio, l'esperimento che consiste nella selezione di un numero reale casuale, tra i valori A e B, segue la distribuzione uniforme. Qui hai il tuo grafico:
Figura 1. Grafico della funzione di densità della distribuzione uniforme normalizzata continua Nella notazione matematica, la distribuzione uniforme continua ha una funzione di densità definita come funzione a pezzi o per sezioni, che può essere scritta come:
Il grafico di questa funzione, noto come Curva o funzione di densità, È un rettangolo, quindi la distribuzione uniforme continua è nota anche come distribuzione rettangolare Ed è la più semplice delle distribuzioni continue.
L'area sotto il grafico di una distribuzione di probabilità è uguale a 1 e prende sempre valori positivi. La distribuzione uniforme soddisfa questi criteri. Non è necessario integrarsi direttamente per verificare che l'area sia 1, poiché l'area del rettangolo ombreggiato nella Figura 1 può essere calcolata usando la formula:
Area = base x altezza = (b - a) x [1/(b - a)] = 1
Conoscere l'area sotto la curva di densità è molto importante, perché esiste una relazione tra l'area e la probabilità di verificarsi di un evento, che per questa distribuzione è determinata nella sezione seguente.
Caratteristiche di distribuzione uniforme continua
La distribuzione uniforme continua è caratterizzata dal suo:
Funzione di densità
Sia X la variabile casuale continua, che appartiene all'intervallo [a, b], quindi:
Può servirti: trasformazioni lineari: proprietà, quali sono l'uso, tipi, esempi=\frac1b-a)
Funzione di distribuzione
Mediante la funzione di distribuzione, viene calcolata la probabilità che la variabile casuale x prenda un valore x dai possibili valori dell'intervallo [a, b]. Per una distribuzione continua, è generalmente calcolato in questo modo:
=\int_a^xf(x)dx)
Nel caso della distribuzione uniforme continua, detta probabilità F (x) è equivalente all'area del rettangolo la cui base è (X-A) e la sua altezza è (B-A):
=\int_a^x\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)dx=\fracx-ab-a)
Matematicamente, se f (x) = pr (x = x) La seguente funzione è stabilita dalle parti, secondo il risultato precedente:
In questo modo, ciò che è stato detto prima: la probabilità dipende solo dal valore di (X-A) e non dalla sua posizione nell'intervallo [A, B]. Il grafico della funzione di distribuzione è:
figura 2. Grafico della funzione di distribuzione f (x). Fonte: Wikimedia Commons. Valore previsto, varianza e deviazione standard
Dopo aver fatto numerosi esperimenti con la variabile casuale continua, il suo valore medio è chiamato valore atteso, È indicato come E (X) ed è calcolato dal seguente integrale:
=\int_a^bxf(x)=\int_a^b\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)xdx=\left&space;(\frac1b-a&space;\right&space;)\frac(b^2-a^2)2=\fraca+b2)
V (x) = e (x2) - ex)2
Perciò:
=\left&space;[\int_a^bx^2f(x)dx&space;\right&space;]-\left&space;(\fraca+b2&space;\right&space;)^2=\left&space;[\int_a^bx^2\left&space;(\fracb-a2&space;\right&space;)&space;dx\right&space;]-\left&space;(\fraca+b2&space;\right&space;)^2)
=\frac(b-a)^212)
D (x) = √ V (x)
=\sqrt\frac(b-a)^212)
Mediana, moda, simmetria e curtosi
Si può facilmente verificare che la mediana, che è il valore centrale della distribuzione uniforme, è uguale alla media e poiché non vi è alcun valore che si ripeta più di altri, poiché tutti sono ugualmente probabili nell'intervallo [a, b ], la moda non esiste.
Per quanto riguarda la simmetria, la distribuzione uniforme è simmetrica e la curtosi, che è il grado in cui i valori intorno al centro sono concentrati è -6/5.
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Varie situazioni possono essere modellate attraverso la distribuzione continua e quindi prevedere il loro comportamento. Ecco alcuni esempi:
Esempio 1
Una società che fornisce un servizio elettrico fornisce livelli di tensione distribuiti uniformemente, tra 123.0 V e 125.0 v. Ciò significa che nel colpo domestico è possibile ottenere qualsiasi valore di tensione che appartiene a quell'intervallo.
Quindi, come visto sopra, il grafico della funzione di densità è il rettangolo rosso:
Figura 3. Funzione di densità per la tensione erogata da una società di elettricità. Fonte: f. Zapata. Calcolare la probabilità di avere una tensione all'interno dell'intervallo dato è molto semplice, ad esempio, qual è la probabilità che la società invierà una tensione inferiore a 123.5 v?
Questa probabilità è equivalente all'area del rettangolo ombreggiato in blu:
P (x<123.5) = (123.5 −123.0)x 0.5 = 0.25
E qual è la probabilità che la tensione consegnata sia maggiore di 124.0 v?
Poiché l'area totale è uguale a 1, la probabilità ricercata è:
P (x> 124.0 v) = 1 - (1 × 0.5) = 0.5
Ha senso, dal 124.0 è proprio il valore al centro dell'intervallo.
Esempio 2
Una certa variabile casuale X ha una distribuzione uniforme nell'intervallo [0,100]. Determinare:
a) La probabilità che il valore di x sia inferiore a 22.
b) la probabilità che X prenda valori tra 20 e 35.
c) Il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di questa distribuzione.
Rispondi a
È determinato in modo simile all'esempio precedente, ma prima dobbiamo determinare l'altezza del rettangolo, ricordando che l'area totale deve essere uguale a 1:
Area = 100 × altezza = 1
Pertanto il rettangolo ha un'altezza pari a 1/100 = 0.01
Può servirti: Decagon: regolare, irregolare, proprietà, esempiP (x<22) = 22×0.01 = 0.22
Risposta b
La probabilità richiesta è equivalente all'area rettangolo la cui larghezza è (35 - 20) e la cui altezza è 0.01:
P (22 Se preferisci andare direttamente alla funzione di distribuzione sopra, devi solo sostituire i valori in: P (20≤x≤35) = f (35) -f (20) Con f (x) dato da: F (x) = (x-a) / (b-a) I valori da introdurre sono: A = 0 B = 100 F (35) = (35-0) / (100-0) = 0.35 F (20) = (20-0) / (100-0) = 0.venti P (20≤x≤35) = 0.35-0.20 = 0.quindici Il valore atteso è: E (x) = (a+b)/2 = (100+0)/2 = 50 La varianza è: V (x) = (b-a)2/12 = (100-0)2/12 = 833.33 E la deviazione standard è: D (x) = √833.33 = 28.87 Questa distribuzione è utile quando vengono eseguiti i processi di simulazione statistica o quando si lavora in eventi la cui frequenza di aspetto è regolare. Alcuni linguaggi di programmazione generano numeri casuali tra 0 e 1 e come si può vedere dagli esempi precedenti, la distribuzione delle probabilità seguita è uniforme. In questo caso l'intervallo da considerare è [0,1]. Se hai un esperimento in cui gli eventi hanno regolarità, come spiegato sopra, puoi, in linea di principio, assegnare a ciascuno la stessa probabilità di occorrenza. In questo caso, il modello probabilistico di distribuzione uniforme fornisce informazioni per l'analisi. La distribuzione uniforme viene utilizzata anche nell'arrotondamento delle differenze tra i valori osservati e i valori reali di una variabile, assumendo una distribuzione uniforme dell'errore in un determinato intervallo, in base all'arrotondamento, di solito da -0,5 a +0.5.Risposta c
Applicazioni
Numeri casuali
Campionamento di distribuzione arbitraria
Arrotondamento degli errori
Riferimenti