Disuguaglianza del triangolo dimostrativo, esempi, esercizi risolti

È chiamato Disuguaglianza del triangolo alla proprietà che soddisfano due numeri reali costituiti dal valore assoluto della sua somma è sempre inferiore o uguale alla somma dei suoi valori assoluti. Questa proprietà è anche conosciuta come disuguaglianza di Minkowski o disuguaglianza triangolare.

Questa proprietà dei numeri si chiama disuguaglianza triangolare perché nei triangoli accade che la lunghezza di un lato è sempre inferiore o uguale alla somma degli altri due, anche se questa disuguaglianza non si applica sempre nel campo dei triangoli.

Figura 1. Il valore assoluto della somma di due numeri è sempre inferiore o uguale alla somma dei suoi valori assoluti. (Preparato da R. Pérez)

Esistono diverse dimostrazioni di disuguaglianza triangolare in numero reale, ma in questo caso sceglieremo una in base alle proprietà del valore assoluto e del binomio quadrato.

Teorema: Per tutte le coppie di numeri A E B Appartenente a numeri reali, deve:

| A + B | ≤ | a | + | B |

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Dimostrazione

Iniziamo considerando il primo membro della disuguaglianza, che verrà ridotto:

| A + b |^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 (EC. 1)

Nel passaggio precedente, la proprietà è stata utilizzata che qualsiasi numero alto al quadrato è uguale al valore assoluto di detto numero alto al quadrato, cioè: | x |^2 = x^2. È stato utilizzato anche lo sviluppo del binomiale quadrato.

Tutti i numeri X È meno o uguale al suo valore assoluto. Se il numero è positivo, vale la pena uguaglianza, ma se il numero è negativo sarà sempre meno di un numero positivo. In questo caso il suo valore assoluto, vale a dire che si può affermare x ≤ | x |.

Può servirti: programmazione non lineare: metodi ed esercizi

Il prodotto (a b) È un numero, quindi è applicato che (a b) ≤ | A B |. Quando questa proprietà viene applicata a (EC. 1) Abbiamo:

| A + b |^2 = a^2 + 2 (a b) + b^2 ≤ a^2 + 2 | A B | + B^2 (EC. 2)

Tenendo conto di quello | A B | = | A || B | LA (EC. 2) Può essere scritto come segue:

 | A + B |^2 ≤ A^2 + 2 | A || B | + B^2 (EC. 3)

Ma come abbiamo già detto che il quadrato di un numero è uguale al valore assoluto del numero alto al quadrato, l'equazione 3 può essere riscritta come segue:

 | A + B |^2 ≤ | A |^2 + 2 | A | | b | + | B |^2 (EC. 4)

Nel secondo membro della disuguaglianza viene riconosciuto un prodotto straordinario, che quando applicato porta a:

 | A + b |^2 ≤ (| a | + | b |)^2 (EC. 5)

Nell'espressione precedente, va notato che i valori da aumentare su entrambi i membri della disuguaglianza sono anche positivi che si debba anche soddisfare questo:

 | A + B | ≤ (| a |+ | b |) (EC. 6)

L'espressione precedente è esattamente quello che volevi dimostrare.

Esempi

Successivamente controlleremo la disuguaglianza triangolare con diversi esempi.

Esempio 1

Il valore viene preso a = 2 e il valore b = 5, vale a dire sia i numeri positivi che verifichiamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.

 | 2 + 5 | ≤ | 2 |+ | 5 |

 | 7 | ≤ | 2 |+ | 5 |

7 ≤ 2+ 5

L'uguaglianza viene verificata, quindi il teorema della disuguaglianza del triangolo è stato adempiuto.

Esempio 2

I seguenti valori sono scelti a = 2 e b = -5, vale a dire un numero positivo e l'altro negativo, controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.

Può servirti: trinomiale

 | 2 - 5 | ≤ | 2 |+ | -5 |

 | -3 | ≤ | 2 |+ | -5 |

 3 ≤ 2 + 5

La disuguaglianza è soddisfatta, quindi il teorema della disuguaglianza triangolare è stata verificata.

Esempio 3

Il valore viene preso a = -2 e il valore b = 5, vale a dire un numero negativo e l'altro positivo, verifichiamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.

 | -2 + 5 | ≤ | -2 |+ | 5 |

 | 3 | ≤ | -2 |+ | 5 |

 3 ≤ 2 + 5

La disuguaglianza viene verificata, quindi il teorema è stato adempiuto.

Esempio 4

Vengono scelti i seguenti valori a = -2 e b = -5, ovvero i numeri negativi e controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno soddisfatta.

 | -2 - 5 | ≤ | -2 |+ | -5 |

 | -7 | ≤ | -2 |+ | -5 |

 7 ≤ 2+ 5

L'uguaglianza viene verificata, quindi il teorema della disuguaglianza di Minkowsk è stato adempiuto.

Esempio 5

Il valore viene preso a = 0 e il valore b = 5, vale a dire un numero zero e l'altro positivo, quindi controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.

 | 0 + 5 | ≤ | 0 |+ | 5 |

 | 5 | ≤ | 0 |+ | 5 |

 5 ≤ 0+ 5

L'uguaglianza è soddisfatta, quindi il teorema della disuguaglianza del triangolo è stato verificato.

Esempio 6

Il valore viene preso a = 0 e il valore b = -7, vale a dire un numero zero e l'altro positivo, quindi controlliamo se la disuguaglianza è soddisfatta o meno.

 | 0 - 7 | ≤ | 0 |+ | -7 |

 | -7 | ≤ | 0 |+ | -7 |

 7 ≤ 0+ 7

L'uguaglianza viene verificata, quindi il teorema della disuguaglianza triangolare è stata adempiuta.

Esercizi risolti

Nei seguenti esercizi rappresenta geometricamente la disuguaglianza del triangolo o la disuguaglianza di Minkowski per i numeri A e B.

Può servirti: papomudas

Il numero A sarà rappresentato come un segmento sull'asse X, la sua origine o coincide con lo zero dell'asse X e l'altra estremità del segmento (al punto P) sarà nella direzione positiva (a destra) del x asse se a> 0, ma a < 0 estará hacia la dirección negativa del eje X, tantas unidades como indique su valor absoluto.

Allo stesso modo, il numero B sarà rappresentato come un segmento la cui origine è al punto P. L'altra estremità, cioè il punto che sarà a destra di P se B è positivo (B> 0) e il punto Q sarà | B | unità a sinistra di p se b<0.

Esercizio 1

Rappresentare graficamente la disuguaglianza del triangolo per A = 5 e B = 3 | A + B | ≤ | a | + | B |, essendo C = a + b. 

Soluzione 1:

Esercizio 2

Crea un grafico della disuguaglianza triangolare per A = 5 e B = -3. 

| A + B | ≤ | a | + | B |, essendo C = a + b.

Soluzione 2:

Esercizio 3

Grafico la disuguaglianza del triangolo per a = -5 e b = 3.

| A + B | ≤ | a | + | B |, essendo C = a + b. 

Soluzione 3:

Esercizio 4

Grafico la disuguaglianza triangolare per A = -5 e B = -3.

| A + B | ≤ | a | + | B |, essendo C = a + b.

Soluzione 4:

Riferimenti

1. E. Whitesett. (1980).Algebra booleana e le sue applicazioni . Azienda editoriale continentale C. A.
2. Mícheal o 'searcoid.(2003) Elementi di analisi astratta ... Dipartimento di Matematica. University College Dublino, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) matematica e ingegneria in informatica. Institute for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, d. C. 20234
4. Eric Lehman. Matematica per l'informatica.  Google inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Calcolo. Dipartimento di matematica e laboratorio di informatica e AI, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Teorema della disuguaglianza del triangolo. Recuperato da: Khanacademy.org
7. Wikipedia. Disuguaglianza triangolare. Recuperato da: è. Wikipedia.com