Decomposizione additiva

IL decomposizione additiva di un numero intero positivo è esprimerlo come una somma di due o più numeri positivi. Pertanto, abbiamo quel numero 5 può esprimerlo come 5 = 1+4, 5 = 2+3 o 5 = 1+2+2. Ognuno di questi modi di scrivere numero 5 è ciò che chiameremo decomposizione additiva.

Se prestiamo attenzione, possiamo vedere che le espressioni 5 = 2+3 e 5 = 3+2 rappresentano la stessa composizione; Entrambi hanno gli stessi numeri. Tuttavia, solo per una questione di comfort viene solitamente scritto ciascuno degli annunci seguendo i criteri da meno al massimo.

Decomposizione additiva

Come un altro esempio possiamo prendere il numero 27, che possiamo esprimerlo come:

27 = 7+10+10

27 = 9+9+9

27 = 3+6+9+9

27 = 9+18

La decomposizione additiva è uno strumento molto utile che ci consente di rafforzare le nostre conoscenze sui sistemi di numerazione.

Decomposizione canonica additiva

Quando abbiamo un numero di più di due cifre, una particolare forma di decomposizione è in multipli di 10, 100, 1000, 10.000, ecc., Questo inventa. Questo modo di scrivere qualsiasi numero si chiama decomposizione canonica additiva. Ad esempio, il numero 1456 può decomporsi come segue:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Se abbiamo il numero 20 846 295, la decomposizione canonica additiva sarà:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Grazie a questa decomposizione, possiamo vedere che il valore di una determinata cifra è dato dalla posizione che occupa. Prendiamo come esempio i numeri 24 e 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Qui possiamo vedere che in 24 il 2 ha un valore di 20 unità e su 4 un valore di 4 unità; D'altra parte, in 42 il 4 ha un valore di 40 unità e le 2 di due unità. Pertanto, sebbene entrambi i numeri utilizzino le stesse cifre, i loro valori sono totalmente diversi per la posizione che occupano.

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Applicazioni

Una delle applicazioni che possiamo dare alla decomposizione additiva è in alcuni tipi di dimostrazioni, in cui è molto utile vedere un numero intero positivo come la somma degli altri.

Teorema di esempio

Prendiamo come esempio il seguente teorema con le rispettive dimostrazioni.

- Essere z Un numero intero di 4 cifre, allora z è divisibile per 5 se la sua figura corrispondente alle unità è zero o cinque.

Dimostrazione

Ricordiamo cos'è la divisibilità. Se abbiamo numeri interi "A" e "B", diciamo che "A" divide "b" se c'è un numero intero "c" tale che b = a*c.

Una delle proprietà della divisibilità ci dice che se "a" e "b" sono divisibili tra "c", allora è anche la sottrazione "a-b".

Essere z un numero intero di 4 cifre; Pertanto, possiamo scrivere su z e z = ABCD.

Usando la decomposizione additiva canonica che dobbiamo:

Z = a*1000 + b*100 + c*10 + d

È chiaro che A*1000 + B*100 + C*10 è divisibile tra 5. Questo è il motivo per cui abbiamo quella z è divisibile tra 5 se z - (a*1000 + b*100 + c*10) è divisibile tra 5.

Ma z - (A*1000 + b*100 + c*10) = d e d è un numero singolo di figura, quindi l'unico modo per essere divisibile tra 5 è che è 0 o 5.

Pertanto, z è divisibile tra 5 se d = 0 o d = 5.

Si noti che se z ha n cifre la dimostrazione è esattamente la stessa, cambia solo che ora scriviamo z = a₁A₂… A_N E l'obiettivo sarebbe dimostrarlo_N è zero o cinque.

Partizioni

Diciamo che una partizione di un numero intero positivo è un modo in cui possiamo scrivere un numero come una somma di numeri interi positivi.

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La differenza tra una decomposizione additiva e una partizione è che, mentre nella prima si cerca che almeno possa essere suddivisa in due o più, nella partizione questa restrizione.

Quindi, abbiamo quanto segue:

5 = 5

5 = 1+4

5 = 2+3

5 = 1+2+2

Quanto sopra sono partizioni di 5.

Cioè, abbiamo che tutta la decomposizione additiva è una partizione, ma non tutte le partizioni sono necessariamente una decomposizione additiva.

Nella teoria dei numeri, il teorema fondamentale delle garanzie aritmetiche che ogni numero intero può essere scritto in modo univoco come prodotto di cugini.

Quando vengono studiate le partizioni, l'obiettivo è determinare quanti modi un numero intero positivo può essere scritto come somma di altri numeri interi. Pertanto definiamo la funzione di partizione come presentata di seguito.

Definizione

La funzione di partizione P (n) è definita come il numero di modi in cui un numero intero positivo n può essere scritto come una somma di numeri interi positivi.

Tornando all'esempio di 5, dobbiamo:

5 = 5

5 = 1+4

5 = 2+3

5 = 1+1+3

5 = 1+2+2

5 = 1+1+1+2

5 = 1+1+1+1+1

In questo modo, p (5) = 7.

Grafici

Sia le partizioni che le decomposizioni additive di un numero n possono essere rappresentate geometricamente.  Supponiamo di avere una decomposizione additiva di n. In questa decomposizione gli aggiunti possono essere fissati in modo che i membri della somma siano ordinati dal minimo al massimo. Quindi, vale la pena:

n = a₁ + A₂ + A₃ +… + A_R con

A₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_R.

Possiamo graficamente la decomposizione come segue: in una prima riga segniamo il a₁-punti, quindi nel seguente segna₂-punti e così via fino a raggiungere_R.

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Prendiamo come esempio numero 23 e la sua prossima decomposizione:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ordiniamo questa decomposizione e abbiamo:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Il suo grafico corrispondente sarebbe:

Allo stesso modo, se leggiamo questo grafico in verticale invece in orizzontale, possiamo ottenere una decomposizione che è probabilmente diversa dal precedente. Nell'esempio del 23, si distingue quanto segue:

Quindi abbiamo quel 23 possiamo anche scriverlo come:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.