Derivati ​​successivi

Quali sono i derivati ​​successivi?

IL derivati ​​successivi Sono quelli derivati ​​da una funzione dopo il secondo derivato. Il processo per calcolare i derivati ​​successivi è il seguente: esiste una funzione f, che possiamo derivare e ottenere la funzione derivata f '. A questo derivato di F possiamo derivarlo di nuovo, ottenendo (f ')'.

Questa nuova funzione si chiama secondo derivato; Tutti i derivati ​​calcolati dal secondo sono successivi; Questi, anche chiamati di un ordine superiore, hanno grandi applicazioni, come fornire informazioni sulla corsa del grafico di una funzione, il test della seconda derivata per le estremità relative e la determinazione delle serie infinite.

Definizione

Usando la notazione Leibniz, abbiamo che il derivato di una funzione "y" rispetto a "x" è dy/dx. Per esprimere alla seconda derivata di "y" usando la notazione di Leibniz, scriviamo come segue:

In generale, possiamo esprimere derivati ​​successivi come segue con la notazione di Leibniz, dove n rappresenta l'ordine del derivato.

Altre notazioni utilizzate sono le seguenti:

Alcuni esempi in cui possiamo vedere le diverse notazioni sono:

Esempio 1

Ottieni tutti i derivati ​​della funzione F definita da:

Usando le solite tecniche di referral, abbiamo che la F è:

Ripetere il processo possiamo ottenere il secondo derivato, il terzo derivato e così via.

Si noti che il quarto derivato è zero e il derivato zero è zero, quindi dobbiamo:

Esempio 2

Calcola il quarto derivato dalla seguente funzione:

Derivare la funzione data che abbiamo di conseguenza:

Velocità e accelerazione

Una delle motivazioni che ha portato alla scoperta del derivato è stata la ricerca della definizione di velocità istantanea. La definizione formale è la seguente:

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Sia y = f (t) una funzione il cui grafico descrive la traiettoria di una particella in un istante T, Quindi la sua velocità in un istante t è data da:

Una volta ottenuta la velocità di una particella, possiamo calcolare l'accelerazione istantanea, che è definita come segue:

L'accelerazione istantanea di una particella la cui traiettoria è data da y = f (t) è:

Esempio 1

Una particella si sposta su una linea in base alla funzione di posizione:

Dove "y" viene misurato in metri e "t" in pochi secondi.

• In che momento la tua velocità è 0?
• In che momento la sua accelerazione è 0?

Derivando la funzione di posizione "Y" abbiamo che la sua velocità e accelerazione sono rispettivamente da:

Per rispondere alla prima domanda, è sufficiente determinare quando la funzione V è zero; questo è:

Procediamo con la domanda successiva analoga:

Esempio 2

Una particella si muove su una linea secondo la seguente equazione del movimento:

Determina "T, Y" e "V" quando a = 0.

Sapere che la velocità e l'accelerazione sono fornite da

Procediamo a derivare e otteniamo:

Facendo a = 0, abbiamo:

Dove possiamo dedurre che il valore di t in modo che a sia uguale a zero è t = 1.

Quindi, valutando in t = 1 la funzione di posizione e funzione, dobbiamo:

Applicazioni

Derivazione di mplícita

I derivati ​​successivi possono anche essere ottenuti mediante derivazione implicita.

Esempio

Data la seguente ellisse, trova "y":

Derivando implicitamente rispetto a X, abbiamo:

Quindi, re -deriving implicitamente rispetto a X, ci dà:

Finalmente abbiamo:

Estremi relativi

Un altro uso che possiamo dare ai derivati ​​del secondo ordine è nel calcolo delle estremità relative di una funzione.

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I criteri del primo derivato per gli estremi locali ci dicono che se abbiamo una funzione F continue in un intervallo (a, b) e c'è una C che appartiene a detto intervallo in modo tale da essere annullato in c (cioè C è un punto critico), uno di questi tre casi può verificarsi:

• Se f '(x)> 0 per qualsiasi x appartenente a (a, c) e f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
• Se f '(x) 0 per x appartenente a (c, b), allora f (c) è un minimo locale.
• Se f '(x) ha lo stesso segno in (a, c) e in (c, b), implica che f (c) non è un'estremità locale.

Usando i criteri del secondo derivato possiamo sapere se un numero critico di una funzione è un minimo massimo o locale, senza dover fare ciò che è il segno della funzione a intervalli di cui sopra.

Il criterio della seconda deriva ci dice che se f '(c) = 0 e che f "(x) è continuo in (a, b), succede se f" (c)> 0 allora f (c) è a Minimo locale e se f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Se f "(c) = 0, non possiamo concludere nulla.

Esempio

Data la funzione f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², Trova il parente massimo e minimo di F applicare i criteri del secondo derivato.

Per prima cosa calcoliamo f '(x) e f "(x) e abbiamo:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Ora, f '(x) = 0 Sì, e solo se 4x (x + 2) (x - 1) = 0, e questo si verifica quando x = 0, x = 1 o x = - 2.

Per determinare se i numeri critici ottenuti sono estremi relativi solo valutare in f "e quindi osserva il suo segno.

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f "(0) = - 8, quindi f (0) è un massimo locale.

f "(1) = 12, quindi f (1) è un minimo locale.

f "(- 2) = 24, quindi f (- 2) è un minimo locale.

Serie Taylor

Sii f una funzione definita come segue:

Questa funzione ha un raggio di convergenza r> 0 e deriva da tutti gli ordini in (-r, r). I derivati ​​successivi di F ci danno:

Prendendo x = 0, possiamo ottenere i valori di C_N A seconda dei suoi derivati ​​come segue:

Se prendiamo n = 0 come funzione f (cioè f^0 = f), allora possiamo riscrivere la funzione come segue:

Ora consideriamo la funzione come una serie di poteri su x = a:

Se eseguiamo un'analisi analoga a quella precedente, dovremmo scrivere la funzione F come:

Queste serie sono conosciute come Taylor F in una serie. Quando a = 0 abbiamo il caso particolare chiamato serie MacLaurin. Questo tipo di serie è di grande importanza matematica soprattutto nell'analisi numerica, poiché grazie a questi possiamo definire funzioni in computer come E^X , sin (x) e cos (x).

Esempio

Ottieni la serie MacLaurin per E^X.

Si noti che se f (x) = e^X, Quindi f^(N)(x) = e^X e f^(N)(0) = 1, quindi la tua serie MacLaurin è: