Derivati ​​algebrici

Cosa sono i derivati ​​algebrici?

IL derivati ​​algebrici Sono costituiti dallo studio del derivato nel caso particolare delle funzioni algebriche. L'origine della nozione di derivata risale all'antica Grecia. Lo sviluppo di questa nozione è stato motivato dalla necessità di risolvere due problemi importanti, uno in fisica e uno in matematica.

In fisica, il derivato risolve il problema di determinare la velocità istantanea di un oggetto in movimento. In matematica, consente di trovare la linea tangente su una curva in un determinato punto.

Sebbene ci siano davvero molti più problemi che vengono risolti usando il derivato, così come le sue generalizzazioni, i risultati che sono arrivati ​​più tardi all'introduzione del loro concetto.

I pionieri del calcolo differenziale sono Newton e Leibniz. Prima di dare la definizione formale, svilupperemo l'idea dietro, dal punto di vista matematico e fisico.

Il derivato come in attesa della linea tangente a una curva

Supponiamo che il grafico di una funzione y = f (x) sia un grafico continuo (senza picchi o vertici o separazioni), e a = (a, f (a)) un punto fisso su di esso. Vogliamo trovare l'equazione della linea tangente alla funzione F al punto a.

Prendiamo un altro punto p = (x, f (x)) del grafico, vicino al punto A e traccia la linea di asciugatura che passa attraverso a e p. Una linea di asciugatura è una linea che taglia al grafico di una curva in uno o più punti.

Per ottenere la linea tangente che vogliamo, è necessario solo calcolare la pendenza perché abbiamo già un punto della linea: il punto A.

Se spostiamo il punto P dal grafico e ci avviciniamo sempre di più al punto A, la linea secca precedentemente menzionata si avvicinerà alla linea tangente che si desidera trovare. Prendendo il limite quando "P tende ad A", entrambe le linee coincideranno, quindi anche le loro pendenze.

La pendenza della linea secante è data da

Dire che P è vicino a A, equivale a dire che "X" si avvicina a "A". Pertanto, la pendenza della linea tangente al grafico di F nel punto A sarà uguale a:

L'espressione precedente è indicata da f '(a) ed è definita come il derivato di una funzione f al punto "a". Vediamo che analiticamente, il derivato di una funzione in un punto è un limite, ma geometricamente, è la pendenza della linea tangente al grafico della funzione nel punto.

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Ora vedremo questa nozione dal punto di vista della fisica. Raggiungeremo la stessa espressione del limite precedente, sebbene con un percorso diverso, ottenendo così l'unanimità della definizione.

Il derivato come velocità istantanea di un oggetto in movimento

Diamo un'occhiata a un breve esempio di ciò che significa velocità istantanea. Quando si dice, ad esempio, che un'auto per raggiungere una destinazione lo ha fatto con una velocità di 100 km all'ora, ciò che significa è che in un'ora ha percorso 100 km.

Ciò non significa necessariamente che durante l'intera ora l'auto era sempre 100 km, il vecimetro dell'auto potrebbe in alcuni momenti segnare meno o più. Se avesse la necessità di stare al semaforo, la velocità in quel momento era di 0 km. Tuttavia, dopo un'ora, il percorso era di 100 km.

Questo è ciò che è noto come velocità media ed è dato dal quoziente della distanza percorsa tra il tempo trascorso, come abbiamo appena visto. La velocità istantanea, nel frattempo, è quella che segna l'ago di vellocimetro di un'auto in un certo istante (tempo).

Vediamo questo ora in modo più generale. Supponiamo che un oggetto si muova lungo una linea e che questo spostamento sia rappresentato per mezzo dell'equazione s = f (t), in cui la variabile t misura il tempo e la variabile s lo spostamento, tenendo conto del suo inizio nel momento t = 0, a quel tempo è anche zero, cioè f (0) = 0.

Questa funzione f (t) è nota come funzione di posizione.

Un'espressione per la velocità istantanea dell'oggetto è ricercata in un istante fisso. A questa velocità lo denoteremo di V (a).

Che si tratti di un momento vicino all'istante "A". Nell'intervallo di tempo tra "A" e "T", il cambiamento di posizione è dato da f (t) -f (a).

La velocità media in questo intervallo di tempo è:

Che è un'approssimazione della velocità istantanea V (a). Questo approccio sarà migliore poiché T si avvicina a "A". Perciò,

Notiamo che questa espressione è uguale a quella ottenuta nel caso precedente, ma da una prospettiva diversa. Questo è ciò che è noto come il derivato di una funzione f in un punto "a" ed è indicato da f '(a), come indicato sopra.

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Si noti che fare la modifica H

Entrambe le espressioni sono equivalenti ma a volte dovrebbero essere usate più per l'una anziché l'altra, a seconda del caso.

Viene quindi definito più in generale quello derivato da una funzione f in qualsiasi punto "x" appartenente al suo dominio come

La notazione più normale per rappresentare il derivato di una funzione y = f (x) è quella che abbiamo appena visto (f 'o y'). Tuttavia, un'altra notazione ampiamente usata è la notazione di Leibniz che è rappresentata come una delle seguenti espressioni:

In considerazione del fatto che il derivato è essenzialmente un limite, può o meno esistere, poiché i limiti non esistono sempre. Nel caso in cui esista, si dice che la funzione in questione sia differenziabile al punto dato.

Funzione algebrica

Una funzione algebrica è una combinazione di polinomi attraverso somme, subtrazioni, prodotti, quozienti, poteri e radicali.

Un polinomio è un'espressione di forma

P_N= a_NX^N+ A_N-1X^N-1+ A_N-2X^N-2+… + A₂X²+ A₁x+a₀

Dove n è un numero naturale e tutto il_Yo, Con i = 0,1, ..., n sono numeri razionali e_N≠ 0. In questo caso si dice che il grado di questo polinomio sia n.

I seguenti sono esempi di funzioni algebriche:

Qui le funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche non sono incluse. Le regole di derivazione che vedremo di seguito sono valide per le funzioni in generale, ma le limiteremo e le applicheremo in caso di funzioni algebriche.

Regole di derry

Derivato da una costante

Afferma che il derivato di una costante è zero. Cioè, se f (x) = c, allora f '(x) = 0. Ad esempio, il derivato della funzione costante 2 è uguale a 0.

Derivato da un potere

Se f (x) = x^N, quindi f '(x) = nx^N-1. Ad esempio, X derivato³ È 3x². Come conseguenza di ciò, si ottiene che la deriva dalla funzione di identità f (x) = x è f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Un altro esempio è il seguente: Sia f (x) = 1/x², Quindi f (x) = x^-2 e f '(x) = -2x^-2-1= -2x^-3.

Questa proprietà è anche valida, poiché le radici sono poteri razionali e quanto sopra può essere applicato anche in quel caso. Ad esempio, il derivato da una radice quadrata è dato da

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Derivato da una somma e una sottrazione

Se f e g sono funzioni differenziabili in x, allora anche la somma f+g è ed è soddisfatto che (f+g) '(x) = f' (x)+g '(x) (x) (x).

Allo stesso modo devi (f -g) '(x) = f' (x) -g '(x). In altre parole, il derivato di una somma (sottrazione) è la somma (o sottrazione) dei derivati.

Esempio

Se H (x) = x²+X-1, quindi

H '(x) = (x²)+(x) '-(1)' = 2x+1-0 = 2x+1.

Prodotto derivato da un prodotto

Se F e G sono funzioni differenziabili in X, il prodotto FG è anche differenziabile in X ed è soddisfatto

(fg) '(x) = f' (x) g (x)+f (x) g '(x).

Di conseguenza, ha se C è una costante e F è una funzione differenziabile in X, allora CF è anche differenziabile in x y (cf) '(x) = cf' (x).

Esempio

Se f (x) = 3x (x²+1), quindi

f '(x) = (3x)' (x²+1)+(3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1)+3x [(x²) '+(1)]

= 3 (1) (x²+1)+3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1)+3x (2x) = 3x²+3+6x²

= 9x²+3.

Derivato da un quoziente

Se f e g sono differenziabili in x e g (x) ≠ 0, allora f/g è anche differenziabile in x, ed è soddisfatto

Esempio: Se H (x) = x³/(X²-5x), quindi

H '(x) = [(x³) '(X⁵-5x)-(x³) (X⁵-5x) ']/ (x⁵-5x)²= [(3x²) (X⁵-5x)- (x³) (5x⁴-5)]/ (x⁵-5x)².

Regola di derivazione

Questa regola consente di derivare la composizione delle funzioni. Stabilisce quanto segue: se y = f (u) è differenziabile in u e u = g (x) è differenziabile in x, allora la funzione composta f (g (x)) è differenziabile in x, ed è soddisfatta [F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F G (X))] '= f' (g (x)) g '(x).

Cioè, il derivato di una funzione composta è il prodotto del derivato della funzione esterna (derivata esterna) da parte della funzione interna derivata (derivato interno).

Esempio

Se f (x) = (x⁴-2x)³, COSÌ

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(X⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Ci sono anche risultati per calcolare la derivata conversa di una funzione, nonché la generalizzazione a derivati ​​di ordine superiore. Le applicazioni sono estese. Tra questi, i loro profitti nell'ottimizzazione e nelle funzioni minimi sono evidenziati.

Riferimenti

1. Alarcon, s., González, m., & Quintana, H. (2008). Calcolo diverso. Itm.
2. Cabrera, v. M. (1997). 4000 calcoli. PROGRESO EDITORIALE.
3. Castaño, h. F. (2005). Matematica prima del calcolo. Università di Medellin.
4. Eduardo, n. A. (2003). Introduzione al calcolo. Edizioni umbrali.
5. Fonti, a. (2016). Matematica di base. Un'introduzione al calcolo. Lulu.com.
6. Purcell, e. J., Rigdon, s. E., & Varberg, D. E. (2007). Calcolo. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Calcolo diverso (Secondo ed.). Barquisimeto: ipotenusa.
8. Thomas, g. B., & Weir, m. D. (2006). Calcolo: diverse variabili. Pearson Education.