Binomiale quadrato

Cos'è un binomiale quadrato?

In Algebra elementare Un binomiale è la somma o la sottrazione di due monomiali, la cui forma è (a ± b), dove A è il primo termine e B il secondo. Il simbolo ±, che legge "più", indica compattemente la somma e la sottrazione di questi termini.

Quindi, il binomiale quadrato è scritto nella forma (A ± B)², per rappresentare la moltiplicazione del binomio con se stesso. Questa operazione viene facilmente eseguita con l'aiuto della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'aggiunta.

Interpretazione geometrica del binomiale quadrato come aggiunta di due monomiali: l'area della piazza grande è costituita dall'area della piazza verde, più quella della piazza arancione, più quella dei due rettangoli gialli, risultando in² + 2a⋅b + b². Fonte: Wikimedia Commons.

In questo modo, si ottiene un risultato che è conveniente da memorizzare, poiché lo sviluppo di un binomiale quadrato appare in molte applicazioni di algebra, il calcolo e le scienze in generale.

Spiegazione

Lo sviluppo del binomiale quadrato viene effettuato con l'aiuto della suddetta proprietà distributiva. In questo modo ottieni:

(A ± b)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± a⋅b ± b⋅a + b² = a² ± 2A⋅B + B²

Il risultato, che ha sempre tre termini ed è noto come Prodotto notevole, Si legge in questo modo:

Quadrato del primo mandato, più/meno il doppio prodotto del primo mandato per il secondo, più il quadrato del secondo mandato.

La definizione è applicabile a qualsiasi binomiale, indipendentemente dalla forma dei suoi termini.

Quadrato della somma e differenza

Il quadrato di una somma è:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + AB + BA + B² = a² + 2ab + b²

Mentre il quadrato della differenza è:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - AB - BA + B² = a² - 2ab + b²

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Si noti che la differenza tra i due sviluppi sta nel segno che viene messo al termine incrociato.

Esempi

Esempio 1

Quando si sviluppa il quadrato del binomiale (x + 5)², Si ottiene, usando il risultato ottenuto nella sezione precedente:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Esempio 2

Per trovare lo sviluppo del binomiale quadrato (2x - 3)², Procedere in modo analogo:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Esempio 3

Non sempre il termine contenente testi vai per primo sul posto. Ad esempio, quadrare il binomiale (12 - 7x), si ottiene:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Esercizi

Sviluppa i seguenti binomiali quadrati:

a) (3xy - 1)²
b) (2Z + 5y)²
c) [(x+y) - 6]²

Soluzione a

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²E² - 6xy + 1

Soluzione b

(2Z + 5y)² = (2Z)² + 2 ∙ 2Z ∙ 5y + (5y)² = 4Z² + 20zy + 25y²

Soluzione c

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +6² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

Il primo termine del trinomiale può essere sviluppato a sua volta:

(x+y)² = x² + 2x ∙ y + e²

E sostituire il risultato precedente:

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + e² - 12 ∙ (x + y) + 36

Trinomiale quadrato perfetto

Il risultato dello sviluppo di un binomiale quadrato contiene tre termini, secondo: (A ± B)² = a² ± 2ab + b². Ecco perché si chiama trinomiale (tre monomiali) ed è anche perfetto, poiché è ottenuto da un binomiale.

Identificare un trinomiale quadrato perfetto e trovare il binomiale corrispondente che ne dà origine è l'obiettivo della fattorizzazione.

Ad esempio, trinomiale x² + 14x + 49 è un trinomiale quadrato perfetto, poiché:

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X² + 14x + 49 = (x + 7)²

Il lettore può facilmente controllare, sviluppando il quadrato del binomiale (x + 7)² Secondo le formule precedenti:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49