Misura arco (geometria), tipi di archi, esempi

Lui arco, In geometria, è qualsiasi linea curva che collega due punti. Una linea curva, a differenza di una linea retta, è quella la cui direzione è diversa in ogni punto dello stesso. L'opposto di un arco è un segmento, poiché questa è una sezione dritta che si unisce a due punti.

L'arco che viene utilizzato più frequentemente nella geometria è l'arco della circonferenza. Altri archi di uso comune sono l'arco parabolico, l'arco ellittico e l'arco catenario. La forma ad arco è spesso utilizzata anche in architettura come elemento decorativo e elemento strutturale. Questo è il caso degli architravi delle porte e delle finestre, nonché dei ponti e degli acquedotti.

Figura 1. L'arcobaleno è una linea curva che si unisce a due punti all'orizzonte. Fonte: Pixabay

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L'arco e la sua misura

La misura di un arco è la sua lunghezza, che dipende dal tipo di curva che collega i due punti e la posizione di essi.

La lunghezza di un arco circolare è una delle più facili da calcolare, perché è nota l'intera lunghezza dell'arco o perimetro di un cerchio.

Il perimetro di un cerchio è due pi volte la tua radio: P = 2 π r. Sapere questo, se vuoi calcolare la lunghezza S di un arco circolare di angolo α (misurato in radianti) e radio R, Viene applicata una proporzione:

(S / P) = (α / 2 π)

Quindi cancella S dell'espressione precedente e sostituire il perimetro P dalla sua espressione a seconda della radio R, Hai:

S = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π r) = α r.

Cioè, la misura di un arco circolare è il prodotto della sua apertura angolare dal raggio dell'arco circolare.

Per un arco in modo generale il problema è più complicato, al punto che i grandi pensatori dell'antichità hanno affermato che era un compito impossibile.

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Non è stato fino all'avvento del calcolo differenziale e integrale nel 1665, che il problema della misura di qualsiasi arco è stato risolto in modo soddisfacente. 

Prima dell'invenzione del calcolo differenziale, si potevano trovare solo soluzioni attraverso l'uso di archi poligonali o di circonferenza che si avvicinavano al vero arco, ma queste soluzioni non erano esatte. 

Tipi di archi

Dal punto di vista della geometria, gli archi sono classificati secondo la linea curva che si unisce a due punti del piano. Ci sono altre classificazioni in base al suo uso e forma architettonica.

Arco circolare

Quando la linea che collega due punti del piano è un pezzo di circonferenza di un certo raggio, c'è un arco circolare. La Figura 2 mostra un arco circolare di raggio R che collega i punti A e B.

figura 2. ARC circolare radio R che collega il punto A e B. Preparato da Ricardo Pérez.

Arco parabolico

La parabola è la traiettoria che segue un oggetto che è stato gettato in aria in forma obliqua. Quando la curva che si unisce a due punti è una parabola, allora c'è un arco parabolico come quello mostrato nella Figura 3.

Figura 3. Arco parabolico che collega i punti A e B. Preparato da Ricardo Pérez.

Questa è la forma che adotta il getto d'acqua che esce da un tubo che punta. L'arco parabolico può essere osservato nelle fonti d'acqua.

Figura 4. Arco parabolico formato dall'acqua da una fonte in Dresda. Fonte: Pixabay.

Arco catenario

L'arco catenario è un altro arco naturale. Il catenario è la curva che si forma naturalmente quando una catena o una corda pende comodamente da due punti separati.

Può servirti: quali sono gli elementi di un angolo? Figura 5. Arco catenario e confronto con l'arco parabolico. Preparato da Ricardo Pérez.

Il catenario è simile alla parabola, ma non è esattamente lo stesso che può essere notato nella Figura 4.

L'arco a forma di catenaria invertita viene utilizzato in architettura come elemento strutturale di elevata resistenza di compressione. In effetti, si può dimostrare che è il tipo di arco più resistente tra tutte le forme possibili. 

Per costruire un arco catenario solido, viene copiata solo la forma di una corda o una catena, quindi la forma copiata si gira per riprodurlo nell'architrave o nella finestra.

Arco ellittico

Un arco è ellittico se la curva che collega due punti è un tratto o un tratto di ellisse. L'ellisse è definita come il luogo geometrico dei punti la cui distanza a due punti data aggiunge sempre una quantità costante.

L'ellisse è una curva che appare in natura: è la curva della traiettoria del pianeta intorno al sole, come ha dimostrato Johannes Kepler nel 1609.

In pratica, può essere disegnata un'ellisse impostando due puntoni sul pavimento o due perni su carta e legando una corda a loro. Quindi la corda è tesa con il marcatore o la matita e viene disegnata la curva. Un pezzo di ellisse è un arco ellittico. La seguente animazione illustra come viene disegnata l'ellisse:

Figura 5. Posen di un'ellisse usando una corda tesa. Fonte: Wikimedia Commons

La Figura 6 mostra un arco ellittico che collega i punti G e H.

Figura 6. Arco ellittico che collega due punti. Preparato da Ricardo Pérez.

Esempi di archi

I seguenti esempi si riferiscono a come calcolare il perimetro di alcuni archi specifici.

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Esempio 1

La Figura 7 mostra una finestra terminata in arco circolare tagliato. Le dimensioni mostrate nella figura sono ai piedi. Calcola la lunghezza dell'arco.

Figura 7. Calcolo della lunghezza dell'arco circolare di una finestra. (Annotazioni proprie - Immagine della finestra in Pixabay)

Per ottenere il centro e il raggio dell'arco circolare dell'architrano della finestra sono fatte le seguenti costruzioni sull'immagine:

-Il segmento KL è disegnato e il suo mediatrix è disegnato.

-Quindi si trova il punto più alto dell'architrave, che chiamiamo m. Viene quindi considerato il segmento KM e il suo mediatrix viene disegnato.

L'intercettazione dei due mediatrici è il punto n ed è anche il centro dell'arco circolare.

-Ora devi misurare la lunghezza del segmento NM, che coincide con il raggio R dell'arco circolare: r = 2.8 piedi.

-Per conoscere la lunghezza dell'arco oltre al raggio, l'angolo che forma l'arco. Che può essere determinato con due metodi o viene misurato con un trasportatore o calcolato alternativamente usando la trigonometria.

Nel caso mostrato l'angolo che forma l'arco è 91,13º, che deve essere convertito in radianti:

 91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianti

Finalmente calcoliamo la lunghezza S dell'arco attraverso la formula S = α r.

S = 1,59 * 2.8 piedi = 4,45 piedi

Esempio 2

Trova la lunghezza dell'arco ellittico mostrato nella Figura 8, noto R e il semi -asse minore S dell'ellisse.

Figura 8. Arco ellittico tra GH. Preparato da Ricardo Pérez.

Trovare la durata di un'ellisse è stato per molto tempo uno dei problemi più difficili della matematica. Le soluzioni espresse dagli integrali ellittici possono essere ottenute ma per avere un valore numerico, questi integrali nelle serie di alimentazione devono essere ampliati. Un risultato esatto richiederebbe termini infiniti di quelle serie.

Fortunatamente, il genio matematico di origine indù Ramanujan, che viveva tra il 1887 e il 1920, trovò una formula che si avvicina molto precisamente al perimetro di un'ellisse:

Perimetro di un'ellisse = π [3 (r + s) - √ ((3r + s) (r + 3s))]]

Il perimetro di un'ellisse con r = 3 cm e s = 2.24 cm è 16,55 cm. Tuttavia, l'arco ellittico mostrato ha metà di quel valore:

Lunghezza dell'arco ellittico GH = 8.28 cm.

Riferimenti

1. Clemens s. 2008. Geometria e trigonometria. Pearson Education.
2. Garcia f. Procedure numeriche in java. Lunghezza di un'ellisse. Estratto da: SC.Ehu.È
3. Geometria dinamica. Archi. Recuperato dalla geometriadinamica.È
4. Pizedas. Ellissi e parabole intorno a noi. Estratto da: Pizedas.com
5. Wikipedia. Arco (geometria). Recuperato da: è.Wikipedia.com